37、图的析取全支配问题的算法研究

图的析取全支配问题的算法研究

在图论的研究领域中，支配问题一直是一个重要的研究方向。传统的支配问题已经得到了广泛的研究，而近年来，析取全支配问题作为支配问题的一个变体，逐渐受到关注。本文将深入探讨图的析取全支配问题，包括其在树结构上的多项式时间算法以及在二分图和平面图上的NP - 难性。

1. 基本概念介绍

在开始具体算法和复杂度分析之前，我们先明确一些基本概念。

设 $G = (V, E)$ 是一个简单无向图，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。对于两个顶点 $u, v \in V$，它们之间的距离 $d(u, v)$ 定义为从 $u$ 到 $v$ 的最短路径的长度。顶点 $v$ 的开邻域 $N(v) = {u \in V | (u, v) \in E}$，闭邻域 $N[v] = N(v) \cup {v}$。对于顶点子集 $S$，$N(S) = {u \in V | (u, v) \in E 且 v \in S}$，$N[S] = N(S) \cup S$。

如果顶点子集 $D \subseteq V$ 满足 $V \setminus D$ 中的每个顶点都在 $D$ 中有邻居，即 $V \setminus D \subseteq N(D)$，则称 $D$ 是图 $G$ 的一个支配集。如果 $V$ 中的每个顶点都与 $D$ 中的一个顶点相邻，即 $V = N(D)$，则称 $D$ 是图 $G$ 的一个全支配集。（全）支配问题就是要找到图 $G$ 中（全）支配集 $D$ 的最小基数。

近年来提出的析取支配问题是支配问题的一个变体。如果顶点子集 $D$ 满足 $V \setminus D$ 中的每个顶点要么与 $D$ 中的一个顶点相邻，要