30、保持可区分性的子树提取复杂度分析

保持可区分性的子树提取复杂度分析

在树结构数据处理中，保持可区分性的子树提取问题（dpSE）是一个重要的研究方向。本文将深入探讨该问题的复杂度，并证明在查询类 $Q/$ 下，dpSE 问题是 NP 完全的。

基本概念

• 节点可区分性 ：对于查询类 $L$ 和树 $T$，若存在 $q \in L$ 使得节点 $n_1$ 和 $n_2$ 可被 $q$ 区分，则称 $n_1$ 和 $n_2$ 是可区分的，记为 $n_1 \not\equiv_{T,L} n_2$；否则，它们是不可区分的，记为 $n_1 \equiv_{T,L} n_2$。若查询类在上下文中明确，可简记为 $n_1 \not\equiv_T n_2$ 和 $n_1 \equiv_T n_2$。
• dpSE 问题定义 ：给定树 $T$、节点集 $A, B \subseteq V_T$ 和整数 $k$，dpSE 问题是确定是否存在 $T$ 的子树 $T’$，使得 $|V_T| - |V_{T’}| \geq k$，$A \cup B \subseteq V_{T’}$，并且满足以下条件：
  • 节点可区分性保持 ：对于任意 $(u, v) \in A \times B$，若 $u \not\equiv_{T,Q/} v$，则 $u \not\equiv_{T’,Q/} v$。
  • 查询可区分性保持 ：对于任意 $q \in Q/$，若 $u \not\equiv_{T’,q} v$，则 $u \not\equiv