5、混合疏散与航空网络可达性评估

混合疏散与航空网络可达性评估

1. 混合疏散问题

在疏散问题的研究中，有一个重要的变体——带弧容量的不可分割混合疏散问题（Unsplittable Mixed Evacuation with Arc Capacities，简称 umeac）。在这个问题里，给定向量 (w_1, w_2 \in Z_A^+)，对于 (A) 中的每条弧 (a)，都有 (w_1(a) + w_2(a) \leq c(a))。目标是判断是否存在可行的分配 ((d_1, d_2, w_1, w_2))，使得对于 (S) 中的每个顶点 (v)，(d_1(v), d_2(v) \in {0, b(v)})；对于 (T) 中的每个顶点 (v)，(d_1(v), d_2(v) \in {0, u(v)})。

可以证明 umeac 是 NP 完全问题。若 (|S \cup T| \leq C \log_2 n)（(C) 为常数），那么通过枚举 (S \cup T) 的所有子集，umeac 问题能在多项式时间内解决。下面通过从划分问题（Partition）进行归约来证明 umeac 的 NP 完全性。

划分问题是给定一个有限集 (I) 和向量 (\pi \in Z_I^+)，且 (\pi(I)) 为偶数，目标是判断是否存在 (I) 的子集 (J)，使得 (\pi(J) = \pi(I\setminus J))。

具体构造 umeac 实例的步骤如下：
1. 定义顶点集 (V := {v_i | i \in I} \cup {v_◦, v_•, v_1^ , v_2^ })。
2. 定义弧集 (A := {(v_i, v_◦), (v_i, v_•) | i