2、平面图形上警察与强盗游戏的捕获时间分析

平面图形上警察与强盗游戏的捕获时间分析

1. 基本概念

1.1 图的定义

图 (G = (V, E)) 由顶点集 (V(G)) 和边集 (E(G)) 组成，这里假设图是平面且无向的。割点 (v \in G) 是指去掉该顶点后，图 (G) 的连通分量数量增加的顶点。由于问题性质，图 (G) 必须是连通的，否则警察和强盗可能不在同一个连通分量上，游戏可能无法保证警察获胜。

1.2 距离、路径和循环

• 用 (\pi(u, v)) 表示顶点 (u \in V(G)) 和 (v \in V(G)) 之间的最短路径，(|\pi(u, v)|) 表示该路径的长度，通过路径中的边数来衡量。两个顶点 (u) 和 (v) 之间的距离定义为 (|\pi(u, v)|)。
• 循环 (C) 是起点和终点相同的路径。图 (G) 的直径是所有顶点对之间的最大距离。

1.3 邻接顶点和子图

对于顶点 (v \in V(G))，(N(v)) 定义为与 (v) 相邻的顶点集。对于顶点集 (S \subseteq V(G))，(G[S]) 定义为由顶点集 (S) 诱导的 (G) 的子图，即如果边 (e \in E(G)) 的两个顶点都属于 (S)，则 (e) 属于 (G[S])。

2. 已知结果

2.1 引理 1：1 - 警察获胜条件

图 (G) 是 1 - 警察获胜的，当且仅当通过连续移除陷阱点，(G) 可以缩减为单个顶点。陷阱点 (v \in V(G)) 是指存在顶点 (u \in N(v)) 且 (N(v) \subset N