42、超椭圆曲线密码系统：性能优化与对比分析

超椭圆曲线密码系统：性能优化与对比分析

1. 3 维曲线的加速方法

早期的研究如 [GH00] 发现，可根据输入除子的特性区分不同情况，以此减少除子加法和加倍操作所需的运算次数。该技术结合 Karatsuba 乘法算法和中国剩余定理，进一步降低了整体群运算的复杂度。[KGM+02] 将 [GH00] 的工作推广到定义在奇特征域上的 3 维曲线。他们指出，对于 3 维曲线，算法 1 的输入多项式的次数有 6 种可能选择，根据多项式的公因子进一步分类会产生约 70 个子情况，但他们仅考虑了出现概率极高（对于 $F_{2^{60}}$ 上的 3 维曲线，概率约为 $1 - O(1/q) \approx 1 - 2^{-60}$）的情况，其余情况则使用 Cantor 算法。

在当前工作中，对 [KGM+02] 的公式进行了进一步优化，并将其推广到任意特征。优化基于以下技术：
1. Montgomery 的同时求逆技巧
2. 重新排序归一化步骤
3. Karatsuba 乘法
4. 使用 Bezout 矩阵计算结式
5. 选择合适的超椭圆曲线（HEC）

不同方法在 3 维 HEC 群运算的复杂度对比：
| 方法 | 特征 | 曲线性质 | 加法 | 加倍 |
| — | — | — | — | — |
| Cantor | 一般 | $h(x) = 0, f_i \in F_2$ | $4I + 200M/S$ | $4I + 207M/S$ |
| Nagao | 奇数 | - | $2I + 154M/S$ | $2I + 146M/S$ |
| Kuroki 等 | 奇数 | $h(x