33、双倍攻击：为何向上算法优于向下算法

双倍攻击：为何向上算法优于向下算法

1. 双加算法的两种版本

双加算法通常有两种版本，这取决于之前求和项的顺序：
- 从最高有效位向下计算（Left-to-Right） ：

S = 0
for i from n down to 0
    S = 2.S
    if di = 1 then S = S + P
return S

• 从最低有效位向上计算（Right-to-Left） ：

S = 0
T = P
for i from 0 to n
    if di = 1 then S = S + T
    T = 2.T
return S

第一种实现方式使用更为频繁，因为它所需的内存更少。到目前为止，这两种算法在安全性上没有明显区别，因为所有已知的攻击都能同时适用于这两种实现。不过，后续会发现向下计算的版本可能比向上计算的版本更容易受到攻击。

2. 功耗分析攻击

简单双加算法容易受到Kocher等人提出的功耗攻击，主要有以下两种类型：

2.1 简单功耗分析（SPA）

这种攻击通过观察功耗来猜测执行的指令。例如，在之前的算法中，可以通过区分加倍和加法指令来恢复指数 ( d = \sum_{i=0}^{n} d_{i}2^{i} )。为了避免这种攻击，向下的双加算法通常会使用所谓的“伪指