27、基于欧几里得乘法器的更快双尺寸模乘法

基于欧几里得乘法器的更快双尺寸模乘法

1. 引言

在密码学中，当密码协处理器只能处理特定比特大小（n 比特）的数字时，对更大操作数进行模算术运算就成了一个复杂的实现问题。传统的多精度算法，如蒙哥马利、巴雷特、奎斯夸特尔或沃尔特的算法，虽能解决问题，但可能需要底层硬件架构不支持的小操作来处理数据块。例如，常规的 (n×n) 比特整数乘法（结果为 2n 比特），在某些密码处理器（如英飞凌的 ACE）上可能无法直接实现，该处理器只能进行 n 比特（n 最大为 1100）的模运算。

为解决此问题，一种常规方法是将块大小设为 n ≤ 1100/2（如 n = 512），使整数乘法通过模 2^1100 的乘法实现。但采用这种策略，基于蒙哥马利算法实现一次 2048 比特乘法至少需要四十次 512 比特整数乘法，性能难以接受。因此，在该平台上实现 2048 比特 RSA 并满足较高的执行速度期望并非易事，需要设计更具体的技术来模拟对更大操作数的模算术运算。

近期出现了两种不同的技术：
- Paillier 提出的方法：用 8 到 6 次 n 比特模乘法器调用（加上其他可忽略的操作）来模拟 2n 比特模乘法。该算法受蒙哥马利技术启发，依赖剩余数系统（RNS）表示数据并执行部分操作。不过，它需要在乘法前预先计算一个依赖模数的常数。
- Fischer 和 Seifert 提出的方法：消除了对预计算常数的需求。2n 比特操作数通过以 2^n 为基数的经典基数表示法处理，新技术以相同表示法输出结果。他们用欧几里得乘法（即同时返回 xy ÷ z 的商和余数的操作）取代了基本操作。

本文对 Fischer 和 Seifert 的算法进行了改进，提出了更高级的计算策略