30、二元椭圆曲线的简单加密方案

二元椭圆曲线的简单加密方案

1. 二元椭圆曲线基础

在二元椭圆曲线 (E_{a,b}) 中，若点 ((x, y) \in E_{a,b}) 且 (x \neq 0)，则有 (\frac{y^2}{x^2} + \frac{y}{x} = x + a + \frac{b}{x^2})。设 (z = \frac{y}{x})，可得 (z^2 + z = x + a + \frac{b}{x^2})。由于该二次方程可解，所以 (Tr(x + a + \frac{b}{x^2}) = 0)。有研究表明，点 (P = (x_1, y_1) \in E_{a,b}) 属于 (E_{a,b}) 的素子群的一个必要条件是 (Tr(x_1) = Tr(a))。因此，域元素 (\alpha \in F_{2^n}) 是属于 (E_{a,b}) 素子群的点的 (x) 坐标，当且仅当 (Tr(\alpha + a + \frac{b}{\alpha^2}) = 0) 且 (Tr(\frac{b}{\alpha^2}) = 0)。

2. 二元椭圆曲线的同构

• 定理 1 ：设 (\gamma \in F_{2^n}) 且 (Tr(\gamma) = 0)，则对于所有的 (a) 和 (b)，有 (|E_{a + \gamma,b}| = |E_{a,b}|)。当 (Tr(\gamma) = 0) 时，曲线 (E_{a + \gamma,b}) 和 (E_{a,b}) 是同构的。
• 定理 2 ：假设 (\gamma \in F_{2^n}) 且 (Tr(\gamma) = 0)，则 (E_{a +