UVa 10791 Minimum Sum LCM

题目链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1732

#include <cstdio>
#include <cmath>

// 对该数进行质因数分解的质数及其指数的和
long long sum;

long long x;


bool is_prime(long long n);


int main()
{
	int count = 1;
	while(scanf("%lld", &x) == 1 && x != 0)
	{
		sum = 0;	
	

		// 如果x为1
		if(x == 1)
			printf("Case %d: 2\n", count);
		// 如果x为素数
		else if(is_prime(x))
			printf("Case %d: %lld\n", count, 1+x);
		else
		{
			int p_count = 0;
			// 求该数的质因数分解的每项和
			long long k = x;
			for(long long i = 2; i <= x; i++)
			{
				if(is_prime(i))
				{
					int e_count = 0;
					while(k % i == 0)	
					{
						e_count++;
						k = k / i;
					}
					if(e_count > 0)
					{
						sum += pow(i, e_count);
						p_count++;
					}
					if(k == 1)
						break;
				}
			}
			if(p_count >= 2)
				printf("Case %d: %lld\n", count, sum);
			else
				printf("Case %d: %lld\n", count, sum+1);
		}				
		count++;
	}		
	return 0;
}

// 判断n是否为素数
bool is_prime(long long n)
{
	if(n < 2)
		return false;
	for(long long i = 2; i*i <= n; i++)
	{
		if(n % i == 0)
			return false;	
	}		
	return true;
}

一时不知如何做，看书发现是将N进行质因数分解，每个数单独作为一个元素，相加和最小。

根据最小公倍数的定义，每个数不能再分割。另外，如果把两个数或两个以上的数相乘，肯定比原来单独的数相加的和要大。

设两个数为a, b. a*b >= 2*max(a,b) > a+b. 因此是每个数单独作为一个元素和最小。

另外，这里需要求一个数N(可达2^31-1)的质因数分解，筛法是不能用了，因为要求1-2^31的素数。

一开始想得是从2开始，判断每个数是否为素数，如果是，就对其进行分解。

后来看了汝佳的代码，发现不用判断素数。

从2开始，如果该数能整除现在的N，就必定是素数，可质因数分解。

原因是，想一想以前学的分解质因数手算的方法。如果x是合数，但是能整除现在的N是不可能的。设x质因数分解中有质数a. 因为a比x小，a必定已经逐步整除过N.

现在的N必定不能被a整除。矛盾！因此，每一步能够整除现在的N的数必定为质数。