BZOJ3251 树上三角形

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• BZOJ3251

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Solution

• 正解没想出来还把 LCA 写挂了，实在太弱了。
• 先考虑一种暴力，把 $u \to v$ 路径上所有点权取出，按从小到大排序，则我们只需要判断相邻的三个元素是否能构成三角形即可。
• 一个简单的解释：
  
  • 假设排序完后的序列为 $a_1, a_2, ... , a_m$，枚举三角形的最长边 $a_k$。
  • 那么一个合法的三角形显然满足 $a_i < a_j < a_k$ 且 $a_i + a_j > a_k$。
  • 因为我们已经排好序了，所以 $a_{k - 2}, a_{k - 1}$ 显然比 $a_k$ 小，并且它们相加的和最大。
• 暴力复杂度 $O(q\ n \log n)$，考虑怎样优化。
• 根据暴力构造一组最长的不能构成三角形的序列 $a_1, a_2, ... , a_m$（按照从小到大排序）。
• 假定 $a_1 = 1, a_2 = 1$，因为 $a_3 \ge a_1 + a_2$ 且序列要尽量长，所以 $a_3 = a_1 + a_2 = 2$
• 类似的，我们发现这样构造出来的就是斐波拉契数列，即 $a_i = a_{i - 1} + a_{i - 2}$
• 因为 $1 \le a_i \le 2^{31} - 1$，序列长度最多也就47。
• 那么对于长度超过 47 的路径就可以直接输出 $‘Y’$，这便是暴力的优化。
• 用倍增求 LCA 的话，时间复杂度大概是 $O(q \log n)$。

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Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>

using namespace std;

namespace inout
{
    const int S = 1 << 20;
    char frd[S], *ihed = frd + S;
    const char *ital = ihed;

    inline char inChar()
    {
        if (ihed == ital)
            fread(frd, 1, S, stdin), ihed = frd;
        return *ihed++;
    }

    inline int get()
    {
        char ch; int res = 0; bool flag = false;
        while (!isdigit(ch = inChar()) && ch != '-');
        (ch == '-' ? flag = true : res = ch ^ 48);
        while (isdigit(ch = inChar()))
            res = res * 10 + ch - 48;
        return flag ? -res : res; 
    }   
};
using namespace inout;

typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 5;
int fa[N][20], a[N], val[N], dep[N];
int n, m, q;

struct Edge
{
    int to; Edge *nxt;
}p[N], *T = p, *lst[N];

inline void Link(int x, int y)
{
    (++T)->nxt = lst[x]; lst[x] = T; T->to = y;
}

inline void initLCA(int x, int Fa)
{
    dep[x] = dep[Fa] + 1;
    for (int i = 0; i < 17; ++i)
        fa[x][i + 1] = fa[fa[x][i]][i];

    for (Edge *e = lst[x]; e; e = e->nxt)
    {
        int y = e->to;
        fa[y][0] = x;
        initLCA(y, x);
    }   
}

inline int queryLCA(int x, int y)
{
    if (x == y) return x;
    if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    for (int i = 18; i >= 0; --i)
    {
        if (dep[fa[x][i]] >= dep[y]) x = fa[x][i];
        if (x == y) return x;
    }
    for (int i = 18; i >= 0; --i)
        if (fa[x][i] != fa[y][i])
            x = fa[x][i], y = fa[y][i];
    return fa[x][0];
}

int main()
{
//  freopen("tri.in", "r", stdin);
//  freopen("tri.out", "w", stdout);

    n = get(); q = get(); int k, x, y, z;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) val[i] = get();
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        x = get(); y = get();
        Link(x, y);
    }

    initLCA(1, 0);
    while (q--)
    {
        k = get(); x = get(); y = get();
        if (k & 1) val[x] = y;
        else 
        {
            z = queryLCA(x, y); bool flag = false;
            if (dep[x] + dep[y] - 2 * dep[z] > 46)
            {
                puts("Y");
                continue;
            } 
            a[m = 1] = val[z]; 
            while (x != z) a[++m] = val[x], x = fa[x][0];
            while (y != z) a[++m] = val[y], y = fa[y][0];
            sort(a + 1, a + m + 1);
            for (int i = 1, im = m - 2; i <= im; ++i)
                if (a[i] > a[i + 2] - a[i + 1])
                {
                    flag = true;
                    break;
                }
            puts(flag ? "Y" : "N"); 
        }
    }

//  fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}