sdutoj 三国佚事——巴蜀之危（错排公式的递推推导）

最新推荐文章于 2025-07-29 20:27:21 发布

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#算法

本文详细介绍了如何通过递归推导错排公式的计算方法，以n个字母为例逐步分析，最终得到公式sum=(n-1)*(a[n-1]+a[n-2])。并通过C++代码验证了该公式，展示了在编程中处理此类问题的思路。

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错排公式的递推形式
- 推导过程
本题详解

错排公式的递推形式

推导过程

想要推导复杂的公式，我们不妨由浅入深从个数少的情况开始分析
我们假设有n个字母需要错排，错排总数为sum
当n=1时，因为没有错排的可能，所有sum=0
当n=2时，只存在将两个字母互换的一种情况，sum=1
当n=3时
假设三个字母为ABC
通过列举可知有以下可能
BCA,CAB
共有两种，sum=2
当n=4时
假设四个字母为A B C D
首先，挑选BCD其中一个字母插入 A 的位置，共有三种可能
假设这个字母是B，可暂时写为 B A C D
此时A与B的位置已错开，只需对CD进行错排同n=2的情况
CD错排的情况分析完后，A就不能继续留在2号位置
此时单独对ACD分析可知，A不能留在2号位，C不能留在3号位，D不能留在4号位，便可将ACD转化成三个字母错排的情况，即n=3的情况
因此sum=3 *（2 + 1）= 9
根据推导过程的思路可得公式
$s u m = (n - 1) * (a [n - 1] + a [n - 2])$
既然得到了公式，为了验证它的正确性可以对n=5时进行验证
ABCDE先将AB互换变为BACDE，再对CDE进行n=3的错排，再对ACDE进行n=4的错排，可以发现思路不仅与上述公式相同，答案也与数学知识推出的相同（均为44）

本题详解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long //宏定义，将int类型改为long long类型

const int N = 10010;
int a[N];

signed main() //宏定义后，需要写成signed main
{
    int n;
    cin >> n;
    a[1] = 0;
    a[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i ++)
        a[i] = (a[i - 1] + a[i - 2]) * (i - 1); //错排公式求错排总数
    cout << a[n] << endl;
    return 0;
}