18、平面与空间曲线及曲面的曲率测量

平面与空间曲线及曲面的曲率测量

1 平面曲线曲率

1.1 平面曲线的基本性质

平面曲线的研究可以从其与不变形式的关系入手。对于平面曲线 $\gamma$，其与不变形式 $W_0$ 的关系为：$\gamma$ 可分解为边界部分 $\gamma(a) \times C_1$、$\gamma(b) \times C_2$（其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为两个半圆）以及两条曲线 $\gamma(u) \times \xi(u)$ 和 $\gamma(u) \times (-\xi)(u)$（$\xi$ 为 $\gamma$ 上的单位法向量场）。此时有：
$\langle N(\gamma),W_0\rangle = \langle C_1,W_0\rangle + \langle C_2,W_0\rangle + 2\int_{a}^{b} |\gamma’(u)|du$
由于 $W_0$ 的表达式使得等式右边前两项相互抵消，第三项恰好是 $\gamma$ 长度的两倍，所以可得：
$M_0(\gamma) = \langle N(\gamma),W_0\rangle = 2l(\gamma)$

对于平面上的线段 $I$，同样有 $M_0(I) = \langle N(I),W_0\rangle = 2l(I)$。若多边形 $P$ 是由多个线段组成，例如由两个线段 $I_1$ 和 $I_2$ 组成时，$N(I_1 \cup I_2) = N(I_1) + N(I_2) - N(I_1 \cap I_2)$，当 $I_1 \cap I_2$ 为一个点 $v$ 时，该点的法循环支撑集为 $v\times S^1$，在其上 $W_0$ 为零，所以 $M_0(