18、微分几何：曲面与曲线的深入探索

微分几何：曲面与曲线的深入探索

1. 曲面的参数表示

在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中讨论曲面时，通常假设它们是光滑曲面，即定义曲面的函数至少二阶可微。曲面有多种表示方式：
- 显式表示 ：可以用函数 $z = f(x, y)$ 的图像来表示曲面，这被称为显式表示。
- 隐式表示 ：通过函数 $F(x, y, z)$ 以及方程 $F(x, y, z) = 0$ 来定义曲面，这种方式称为隐式表示。
- 参数表示 ：常使用两个实参数 $(u, v)$ 来表示曲面上的点 $P$，即 $x = x(u, v)$，$y = y(u, v)$，$z = z(u, v)$，这里 $x(u, v)$，$y(u, v)$ 和 $z(u, v)$ 是关于 $u$ 和 $v$ 的光滑函数。用向量表示为 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u, v)$，这就是曲面的参数表示（或参数化），$(u, v)$ 也被称为曲面上点的局部坐标。若将 $(x, y)$ 视为参数，显式表示 $z = f(x, y)$ 也是一种参数表示 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(x, y, f(x, y))$，这种形式的参数表示称为蒙日参数化（或蒙日片，或蒙日坐标）。

参数方程 $u =$ 常数描述了一族曲线，称为 $v$ - 线（$u$ 为常数，$v$ 变化）；$v =$ 常数描述了另一族曲线，称为 $u$ - 线（$v$ 为常数，$u$ 变化）。这两族曲线称为坐标曲线（或坐标线），它们构成一个网格，称为坐标网格或曲线坐标系。在曲面上的任意点 $P$，两条坐标曲线 $u