14、几何子集的曲率与测度理论

几何子集的曲率与测度理论

1. 管公式相关理论

1.1 管公式的积分推导

对于所有与 $M^n \cap P^k$ 相切的向量 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$，以及所有与 $M^n$ 垂直的单位向量 $\xi$，设 $\mathbf{w}$ 是与 $M^n$ 相切且与 $M^n \cap P^k$ 垂直的单位向量，由 $(\cos\theta)\mathbf{w} = \text{pr} {T {M^n}}\xi$ 定义，$h$ 的其他法向分量为零。

对公式 (17.22) 的右侧在乘积 $M^n \times G(N,k)$ 上进行积分，在每一点 $m \in M^n$ 处，有：
[
\int_{\xi \in S^{2N - n - k - 1}} \Xi_{M^n \cap P^k}^{n + k - N}(\xi) \mathrm{d}v_{M^n \cap P^k} = c \int_{\xi \in S^{N - n}} \Xi_{M^n}^{n + k - N}(\xi) \mathrm{d}v_{M^n \cap P^k}
]
其中，$S^{2N - n - k - 1}$ 表示与 $T_m(M^n \cap P^k)$ 正交的向量的单位球面，$S^{N - n}$ 表示与 $T_m(M^n \cap P^k)$ 正交且与 $P^k$ 相切的向量的单位球面，$c$ 是仅依赖于维度的常数。考虑到 $\Delta$ 与 $M^n$ 中的点 $m$ 无关，可得：
[
\int_{M^n} \int_{G(N,k)} \Delta^{R^{n + k - N}} =