1、几何量的度量与曲率测度研究

几何量的度量与曲率测度研究

1. 几何量的定义与性质

在欧几里得空间 (E^N) 中，我们关注的核心是对描述其子集的几何量进行度量。一个与子集 (S) 相关的量 (Q(S))，若对于 (E^N) 的刚体运动群 (G_0) 中的任意元素 (g)，都有 (Q[g(S)] = Q(S))，则称 (Q(S)) 关于 (G_0) 是几何量。例如，子集 (S) 的直径和其凸包的面积就是关于 (G_0) 的几何量，而原点 (O) 到 (S) 最近点的距离则不是，因为它在 (S) 的平移变换下不具有不变性。需要注意的是，几何性这一性质依赖于所选择的变换群。

几何量若具有以下两个“基本”性质，会更具研究价值：
- 连续性条件 ：在计算机图形学、医学成像和结构地质学等应用中，科学家通常希望当对几何量 (Q(S)) 进行评估时，若只能获取 (S) 的近似 (S’)，那么 (Q(S’)) 与 (Q(S)) 的结果“不会相差太远”。用数学语言表达就是，若 (\lim_{n \to \infty} S_n = S)，则 (\lim_{n \to \infty} Q(S_n) = Q(S))。不过，这里需要明确 (E^N) 子集空间 (P(E^N)) 上的拓扑结构，最简单的是豪斯多夫拓扑，但一般情况下它并不总是足够的。
- 包含 - 排除原理 ：为了评估一个“大子集” (S) 上的几何量 (Q(S))，可以将其分割成“小部分” (S_i)，分别计算 (Q(S_i))，然后通过 (Q(S_1 \cup S_2) = Q(S_1) + Q(S_2) - Q(S_1 \cap S_2)) 来恢复 (Q(S))。

2.