hdu3870 S-T平面图最小割转化为最短路

最新推荐文章于 2021-03-05 21:35:52 发布

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本文讨论了一个关于在S-T平面图中将最小割问题转化为最短路问题的算法实现，通过构造对偶图并应用SPFA算法求解最小割。详细解释了S-T平面图的概念和构造方法，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一开始尝试用最大流做，解不出来，然后只能百度了

题意：N*N的方格，每条边有权值，求从(1,1)到(n,n)的最小割。n<=400

“

这题是在S-T平面图中将最小割转化为最短路的题，推荐08年OI论文周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》，没看论文的压力很大，果断不会。研究了一会，下面说下自己的理解。

何为S-T平面图：首先是一平面图（满足欧拉公式与存在对偶图），且源点S，汇点T在边界上。

如何构造对偶图：将S-T连线，将最外面的一个大面（无限大）一分为二了，一个为S*，一个为T*，然后将跨跃某条边的两个面连线，再去掉S*与T*的连线。从下图就可看出S*到T*的一条路径就会对应一个S至T割，S*到T*的最短路就对应最小割了，然后求S*到T*的最短路即可。如图

”

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <queue>
using namespace std;

const int maxn=444;
const int maxm=maxn*maxn;
const int oo=1000000000;

struct node{
   int w,to,next;
}e[maxm*6];

int s;
int head[maxm],dis[maxm];
int a[maxn][maxn];
int edge,n,m;
bool vis[maxm];

queue<int>q;

void add(int u,int v,int c)
{
    e[edge].to=v,e[edge].w=c,e[edge].next=head[u],head[u]=edge++;
    e[edge].to=u,e[edge].w=c,e[edge].next=head[v],head[v]=edge++;
}

void spfa()
{
    int v,i;
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(s);
    memset(dis, -1, sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    //vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int tmp=q.front();
        q.pop();
        for(i=head[tmp];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            if(dis[tmp]+e[i].w<dis[v=e[i].to]||dis[v=e[i].to]==-1)
            {
                dis[v]=dis[tmp]+e[i].w;
                if(!vis[v])
                {
                    vis[v]=true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        vis[tmp]=false;
    }
}


int main()
{
    int t;
    int i,j;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
       s=0;
        cin>>n;
        int t=(n-1)*(n-1)+1;
        edge=0;
       memset(head,-1,sizeof(head));
        for(i =1; i <= n; i++)
            for(j =1; j <= n; j++)
                scanf("%d", &a[i][j]);
        for(i =1; i < n; i++)
            for(j =1; j < n; j++)
            {
                if(i==1|| j==n-1)
                {
                    if(i ==1)  add((i-1)*(n-1)+j, t, a[i][j]);
                    if(j == n-1)  add((i-1)*(n-1)+j, t, a[i][j+1]);
                    if(i==1&& j<n-1)  add((i-1)*(n-1)+j, (i-1)*(n-1)+j+1, a[i][j+1]);
                    if(i>1&& j==n-1)  add((i-1)*(n-1)+j, (i-2)*(n-1)+j, a[i][j]);
                }
                else
                {
                    add((i-1)*(n-1)+j, (i-2)*(n-1)+j, a[i][j]);
                    add((i-1)*(n-1)+j, (i-1)*(n-1)+j+1, a[i][j+1]);
                }
                if(j==1|| i==n-1)
                {
                    if(j ==1)  add(s, (i-1)*(n-1)+j, a[i][j]);
                    if(i == n-1)  add(s, (i-1)*(n-1)+j, a[i+1][j]);
                    if(j==1&& i>1)  add((i-1)*(n-1)+j, (i-2)*(n-1)+j, a[i][j]);
                    if(i==n-1&& j<n-1)  add((i-1)*(n-1)+j, (i-1)*(n-1)+j+1, a[i][j+1]);
                }
            }

        spfa();
        cout<<dis[t]<<endl;
    }
    return 0;
}