陶哲轩实分析-第4章-整数和比例数-优快云博客

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本文详细探讨了陶哲轩实分析中的整数和比例数概念。从整数的性质出发，包括自反性和对称性，再到比例数的定义和性质，如比例数的乘法和负数运算。同时，文章深入研究了比例数的三歧性，并介绍了绝对值和指数运算的相关定理。习题部分提供了进一步的理解和应用练习。

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4.1 整数

习题

4.1.1
自反 $a-b=a-b <= a+b=a+b$
对称 $a-b = a'-b' => a+b'=a'+b => a'+b=a+b' =>a'-b'=a-b$

4.1.2
$a-b=a'-b'=>a+b'=a'+b=>b-a=b'-a'=>-(a-b)=-(a'-b')$

4.1.3
$(-1)xa=(0-1)x(a-0)=0xa+1x0-1xa-0x0=0-1xa=0-a=-a$

4.1.4 $x=a-b,y=c-d,z=e-f$

x + y = y + x

$x+y=y+x$

x+y=a+c−(b+d)=c+a−(d+b)=y+x $x+y=a+c-(b+d)=c+a-(d+b)=y+x$

(x + y) + z = x + (y + z)

$(x+y)+z=x+(y+z)$

(x+y)+z=(a+c)−(b+d)+(e−f)=(a+c+e)−(c+d+f)=(a+(c+e))−(b+(d+f))=x+(y+z) $(x+y)+z=(a+c)-(b+d)+(e-f)=(a+c+e)-(c+d+f)=(a+(c+e))-(b+(d+f))=x+(y+z)$

x + 0 = 0 + x = x

$x+0=0+x=x$ 带入y=0，并且

x+0=(a+0)−(b+0)=x $x+0=(a+0)-(b+0)=x$

x + (- x) = (- x) + x = 0

$x+(-x)=(-x)+x=0$ 带入y=-x，并且

x+(−x)=(a+b)−(b+a)=0−0=0 $x+(-x)=(a+b)-(b+a)=0-0=0$
剩余略
4.1.5根据引理4.1.5，考虑4种情况a>0 b>0 a<0 b<0 a>0 b<0 a<0 b>0

4.1.6
使用4.1.8证明，证明过程用到很多4.1.6结论。ac=bc =>ac-bc=>(a-b)c=0=>a-b=0=>a=b

4.1.7证明引理4.1.11
(a) =>
a>b=>a=b+m=>a-b=m为正

4.1.8
所有自然数满足，负数不满足的性质P(n)都是这样的例子，例如所有整数都有实平方根，对于自然数显然成立，对于所有负数也显然成立，对于-1不成立，但是0成立，也满足条件假命题=>真命题。

4.2 比例数

4.2.1设x=a//b y=c//d z=e//f
ab=ba => x=x
x=y =>ad=bc=>bc=ad=>y=x
x=y y=z =>ad=bc cf=de=>adcf=bcde=>af=be(推论2.3.7)

4.2.2
对于积，完全类似和的证明
需要证明a//b * c//d =a’//b’ * c//d，也就是ac//bd=a’c/b’d，也就是ab’cd=a’bcd，根据ab’=a’b，证明完成
对于负运算
需要证明-a//b=-a’//b’，也就是(-a)*b’=-a’*b，也就是ab’=a’b，证明完成

4.4.3
根据定义，比较容易，略

4.4.4证明任意比例数x的三歧性
首先证明不可能有多于一个命题同时成立，如果是正的比例数则根据定义x=a/b，a和b都为正，不为0，负的同样，如果同时为正和负则x=-x，则x=0，矛盾。考虑x=a/b各种情况，a为正、0，负，b为正、负，无论哪种组合，x必定为三种情况之一，证明完毕。

4.4.5
(a)x-y为比例数，根据比例数的三歧性得证
其余大部分可以根据命题4.2.4性质得证
(e) x < y，也就是存在m>0，x+m=y，

a b + h j = c d

$\frac ab + \frac hj=\frac cd$ ，则

a e b f + h e j f = c e d f

$\frac {ae}{bf} + \frac {he}{jf}=\frac {ce}{df}$ ，所以xz < yz。

4.4.6
证明过程类似命题4.2.9(e)的证明

4.3 绝对值与指数运算

习题

4.3.1
(a) $|x|\ge 0$ ，分3种情况讨论
(b) $|x+y|\le |x|+|y|$ ，符号相同相等，考虑a>0，b<0，再分a>-b和a<-b。
(c) $-y\le x\le y$ 则 $y\ge 0$ ，x分3种情况，x=0则显然成立，x>0则 $|x|=x\le y$ ，x<0则 $|x|=-x<=y$
(d)分3种情况讨论可能是最简单的
(e)d(x,y)=|x-y|，对x-y分3种情况讨论
(f)根据(b)推出

4.3.2
(a)=>显然，<=用反证法
(b)根据命题4.3.3(f)
(c)根据命题4.3.3(b)
(d) $d(x,y)\le \varepsilon$ $d(z,w)\le \delta$ ，则 $d(x+z,y+w)\le d(x+z,x+w)+d(x+w,y+w)\le \varepsilon + \delta$
(e) $d(x,y)\le \varepsilon \le \varepsilon '$
(f)分3种情况w > x和w=x和w < x
(g) $d(xz,yz)=|xz-yz|=|x-y||z|\le \varepsilon |z|$
(h) $|xz-yw|=|xz-xw+xw-yw|\le |x||z-w|+|w||x-y|\le |x||z-w|+(|z|+\delta )|x-y|\le \varepsilon|z|+\delta|x|+\varepsilon \delta$

4.3.3
(a)
$x^nx^m=x^{n+m}$ 固定n，对m归纳
$(x^n)^m$ 固定n，对m归纳，m=0显然。考虑m+1， $(x^n)^{m+1}=x^{nm}\times x^n=x^{nm+n}=x^{n(m+1)}$

(x y) n = x n y n

$(xy)^n=x^ny^n$ n=0显然成立，假定n成立，

(xy)n+1=(xy)n×(xy)=xnynxy=xn+1yn+1 $(xy)^{n+1}=(xy)^n\times (xy)=x^ny^nxy=x^{n+1}y^{n+1}$
(b)
=>
反证法，如果x不等于0，可以归纳证明

xn $x^n$ 不等于0
<=
归纳证明
(c)归纳证明
(d)n=0显然，归纳假设n成立，

|xn+1|=|xn||x|=|x|n|x|=|x|n+1 $|x^{n+1}|=|x^n||x|=|x|^n|x|=|x|^{n+1}$

4.3.4考虑n=a-b，m=c-d，运用命题4.3.10可以相应证明

4.3.5
N=1，2>1
归纳假设n成立， $2^n>n$ ，则 $2^{n+1}=2^n+2^n>2^n+1>n+1$

4.4 比例数中的空隙

命题4.4.5是看到现在第一个看着费劲的东西，第一次看没明白为什么 $\varepsilon^2<2$ 能推出 $（2\varepsilon）^2<2$ 并能根据归纳法推出对所有n成立。事实上，只需要在式子 $(x+\varepsilon)^2<2$ 中用 $\varepsilon$ 替换x即可得到结果。

习题

4.4.1设x=a/b，首先考虑x为正数，也就是a>0且b>0。则根据命题2.3.9，存在m、r满足a=mb+r， $0\le r<b$ ，显然a/b=m+r/b，r/b<1，这里m就是x的整部。对于x为0，显然成立，对于x为负数，则存在正数y使得x=-y=-(mb+r)=-(m+1)b+(b-r)，这里-(m+1)就是所求整数。
证明第二个结论，对于比例数x=a/b，存在N>x，仅考虑x为正数，这样有a>0， $b\ge 1$ ，显然有N=a=ab/b>=a/b

4.4.2
(a)假设 $a_0,a_1,a_2...$ 递减，则 $a_1\le a_0-1$ ， $a_2\le a_0-2$ ，…， $a_{a_0}\le a_0-a_0=0$ ，序列没法继续下去。
提示的原理也类似，但是感觉更绕一点，首先证明对于任意n都有 $a_n>0$ ，否则 $a_{n+1}=0$ 并且序列结束。可以对k归纳，证明对于任意n，都有 $a_n>k$ ，由于k可以任意大，而 $a_0$ 是自然数，所以存在k， $a_0<k$ ，矛盾。
(b)整数代替自然数，无限减小可以， $0, -1, -2, ...$
正比例数也可以，考虑 $1/2,1/3,1/4,...$

4.4.3
为什么自然数不能既是奇的也是偶的
因为如果p=2k=2j+1，则2(k-j)=1，k-j为整数，矛盾。
为什么p奇则 $p^2$ 奇
因为p=2k+1， $p^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$
事实上别的地方证明都是假定p和q没有公约数，这里证明已经完成了，因为已经得出了p和q都是偶数，矛盾。
为什么 $p^2=2q^2=>q<p$
因为 $p^2=q^2+q^2$ ，而 $q^2>0$ ，所以 $p^2>q^2$ ，所以 $p>q$