数学分析原理 第2章 基本拓扑

本文探讨了有限集、可数集与不可数集的概念,并通过定理详细阐述了可数集合的性质。同时,文章深入解析了度量空间中的关键定理,包括如何证明紧致性的过程。

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有限集、可数集合不可数集

2.12定理及推论:可数个可数集组成的元素可数
2.13定理:每个n元组可数
2.14定理证明说明:
A的每一个可数子集都是A的真子集,如果A可数,则A是A的真子集,矛盾,所以A不可数
证明的关键是对每一个可数子集都可以构造出一个不属于这个集合的元素

度量空间

2.28定理中根据定理1.19,supE存在
2.33定理证明过程的说明感觉也有点不容易理解,先说了结果,然后说明过程。
假设K关于X紧,{Vα}是一组关于Y是开的集,这个集是如何找到的,如果找到并且{Vα}为Y的自己,那就证明完成了,下面的证明过程就是这样:
根据紧集定义,存在Gα满足KGα1...Gαn
Vα=YGα根据定理2.30,Vαcompact relative to X,so Vα is open subset of Y.so
KVα1...Vαn得出了Y上的一个open cover

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