力扣第322题 零钱兑换

前言

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零钱兑换

原题目：给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

分析

我们根据下面的决策树来分析一下

所有叶子节点为0的路径都是一个合法路径，我们找一条最短的路径返回即可，兑换总量为4的硬币可以分解为兑换总量为3最小数量的硬币和兑换总量为2的最小数量的硬币加上1。即dp[4]=min{dp[3],dp[2]}+1。dp[0]=0。这两个式子就是我们根据决策树推导出来的动态规划的递推公式。

代码如下：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1); // 创建一个大小为 amount+1 的动态规划数组 dp，初始值为 amount+1
        dp[0] = 0; // 初始条件：凑成金额为 0 时，需要的硬币数量为 0
        
        // 动态规划状态转移
        for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历金额从 1 到 amount 的每一个可能值
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历每一种硬币面额
                if (i - coins[j] >= 0) { // 确保当前金额大于等于当前硬币面额，否则无法使用该硬币
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1); // 更新 dp[i]，选择使用当前硬币或不使用当前硬币的最小值
                }
            }
        }
        
        // 如果 dp[amount] 仍然为初始值 amount+1，表示无法凑成金额 amount，返回 -1
        if (dp[amount] == amount + 1)
            return -1;
        else
            return dp[amount]; // 否则返回凑成金额 amount 所需的最少硬币数量
    }
};

解释注释

1.动态规划数组初始化：

vector dp(amount + 1, amount + 1);
创建一个大小为 amount+1 的数组 dp，初始值为 amount+1。这里选择 amount+1 是因为凑成金额为 amount 的最大硬币数不会超过 amount（每个硬币最小为 1）。

2.初始条件：

dp[0] = 0;
当凑成金额为 0 时，不需要任何硬币，所以 dp[0] = 0。

3.动态规划状态转移：

for (int i = 1; i <= amount; i++) { … }
外层循环遍历计算从金额 1 到 amount 的最少硬币数。
内层循环遍历每一种硬币面额，尝试使用每一种硬币更新 dp[i]。

4.状态转移方程：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
如果能使用当前硬币 coins[j]（即 i - coins[j] >= 0），则更新 dp[i] 为使用当前硬币和不使用当前硬币中的最小值加 1。

5.返回结果：

if (dp[amount] == amount + 1) return -1;
如果 dp[amount] 仍然是初始值 amount+1，说明无法凑成金额 amount，返回 -1。
return dp[amount];
否则返回 dp[amount]，即凑成金额 amount 所需的最少硬币数量。

时间复杂度

时间复杂度为 O(amount * n)，其中 amount 是目标金额，n 是硬币数组的大小。双重循环遍历了所有可能的金额和硬币面额。