常用数学公式

等价无穷小代换

sinx~x, arcsinx~x, tanx~x, arctanx~x, 1-cosx~$\frac{1}{2}{x}^2$
$1-co{s}^{a}x=\frac{a{x}^2}{2}$
$e^x-1$~x,
$a^x-1$~xlna
ln(1+x)~x

$(1+x{)}^a-1$~ax (a≠0)

x-sinx~$\frac{1}{6}{x}^3$, arcsinx-x~$\frac{1}{6}{x}^3$, tanx-x~$\frac{1}{3}{x}^3$, x-arctanx~$\frac{1}{3}{x}^3$

x-ln(1+x)~$\frac{1}{2}{x}^2$

${}^n\sqrt{1+x}$-1~$\frac{1}{n}x$

$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$~x

无穷大的比较

当n→∞时: $l{n}^{a}n<<n^B<<a^n<<n!<<n^n$
其中a,B>0, a>1

三角函数公式

​sin2x=2sinxcosx, $si{n}^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$, $co{s}^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$

$cos2x=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x=2co{s}^{2}x-1=1-2si{n}^{2}x$

​$secx=\frac{1}{cosx}$, $cscx=\frac{1}{sinx}$

​$\frac{sinx}{cosx}=tanx$, $\frac{cosx}{sinx}=cotx$, $tanx=\frac{sinx}{\sqrt{1-si{n}^{2}x}}=\frac{\sqrt{1-co{s}^{2}x}}{cosx}$

​$si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1,1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x,1+co{t}^{2}x=cs{c}^{2}x$

$si{n}^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}$

$co{s}^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}$
cos(-x)=cosx
sin(-x)=-sin(-x)

求导公式

$(C{)}^{\prime }=0,(x^a)=a{x}^{a-1},(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$

$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna},(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x,(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$

$(secx{)}^{\prime }=secxtanx,(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$

$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
 
$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
 
$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
 
$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

$(e^{-(x-t{)}^2}{)}^{\prime }=-2(x-t)(x^{\prime }-1)e^{-(x-t{)}^2}$

n阶导公式

$(e^{ax+b}{)}^n=a^n{e}^{ax+b}$

$(sin(ax+b){)}^n=a^{n}sin(ax+b+\frac{\pi }{2}n)$

$(cos(ax+b){)}^n=a^{n}cos(ax+b+\frac{\pi }{2}n)$

$(ln(ax+b){)}^n=(-1{)}^{n-1}{a}^n\frac{(n-1)!}{(ax+b{)}^n}$

$(\frac{1}{ax+b}{)}^n=(-1{)}^n{a}^n\frac{n!}{(ax+b{)}^{n+1}}$

微分方程

一阶线性非齐次微分方程解的公式

​$y=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$

二阶常系数齐次微分方程解的特征
对y’‘+py’+qy=0
特征方程：$r^2+pr+q=0$

设r1,r2是特征方程的两个根

不等实根 $r_1\ne r_2$
$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$

相等实根 $r_1=r_2=r$
$y=e^{rx}(C_1+C_{2}x)$

共轭复根 $y=e^{ax}(C_{1}cosBx+C_{2}sinBx)$

出现共轭复根的条件是Δ＜0即$b^2-4ac＜0$, 此时解为

$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{(-1)(4ac-b^2)}}{2a}$, 因为$\sqrt{-1}＝i$ , 所以原式可化为

$\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2}i}{2a}$

令$a=-\frac{b}{2a}$,$b=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

可得共轭复根$r_{1,2}=a\pm bi$

积分公式

三角函数有理数万能公式
t = $tan\frac{x}{2}$, sinx = $\frac{2t}{1+t^2}$, cosx = $\frac{1-t^2}{1+t^2}$, dx = $\frac{2}{1+t^2}dt$
点火公式
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{3|4}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{3|4}x=\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}.1\\ \\ \frac{3}{4}.\frac{1}{2}.\frac{\pi }{2}\end{array}$
积分公式
$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C(a>0,a\ne 1)$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int sinxdx=-cosx+C$

$\int cosxdx=sinx+C$

$\int tanxdx=-ln|cosx|+C$

$\int cotxdx=ln|sinx|+C$

$\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$

$\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$

$\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$

$\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C$

$\int 0dx=C,\int 1dx=\int dx=x+C$

$\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C(a\ne -1)$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$

$\int ta{n}^{2}xdx=tanx-x+C$

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C$

$\int \sqrt{a^2+x^2}=\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2}ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$

$\int ln(1+x)dx=(1+x)ln(1+x)-x+C$

$\int \frac{cosx}{si{n}^{2}x}dx=-\frac{1}{sinx}+C$

$\int \frac{1}{sinx}=ln|cscx-cotx|+C$

$\int \frac{1}{cosx}=ln|secx+tanx|+C$
 
$\int \frac{1}{tanx}=ln|sinx|+C$

$\int e^{x}cosxdx=\frac{e^x(sinx+cosx)}{2}+C$

积分计算圆的公式
${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi }{4}{a}^2$

${\int }_0^a\sqrt{2ax-x^2}dx=\frac{\pi }{4}{a}^2$

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$

与三角函数周期性有关的积分公式

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(cosx)dx$
 
${\int }_0^{\pi }f(sinx)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx$

${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx$

两点确定一条直线 : $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$

常见曲线方程及图像

星形线: $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$

心形线:
r=a(1-cosθ)
r=a(1+cosθ) (a>0)

玫瑰线:
r=asin3θ(a>0)

阿基米德螺旋线:
r=aθ

伯努利双扭线:
极坐标形式:
$r^2=a^{2}cos2\theta$
$r^2=a^{2}sin2\theta$
直角坐标形式:
$(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2)$

摆线(旋轮线)
x=r(t-sint)
y=r(1-cost)
当t=$\pi$时, x代表摆线图像在x轴得中间点, y代表类圆形的最大值
t代表角度, t=$\pi$代表旋转了180

椭圆方程
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
长轴: 2a; 长半轴: a
短轴: 2b; 短半轴: b
焦点: $F_1(-c,0),F_2(c,0)$
焦距: $|F_1{F}_2|$
椭圆上任意动点与焦点距离之和为2a,即
$|P{F}_1+P{F}_2|=2a$
椭圆面积为 $\pi ab$

形心公式
1 . 一重积分的形心公式
$\overline{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$

$\overline{y}=\frac{{\int }_a^{b}yf(y)dy}{{\int }_a^{b}f(y)dy}$

2 . 二重积分的形心公式
$\overline{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xd\sigma }{S}$
 
$\overline{y}=\frac{\underset{D}{\iint }yd\sigma }{S}$

3 . 三重积分的形心公式
$\overline{x}=\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }xdV$
$\overline{y}=\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }ydV$
$\overline{z}=\frac{1}{V}\underset{\Omega }{\iiint }zdV$

引力计算公式
$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
G称为引力系数

无穷级数

泰勒展开拉格朗日余项公式
$ln(1+x)=\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}$

$-ln(1-x)=\sum _1^{\infty }\frac{x^n}{n}$

$sinx=\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$cosx=\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$

$\frac{1}{1+x}=(-1{)}^n{x}^n$

傅里叶级数
$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(\frac{n\pi t}{l})+b_{n}sin(\frac{n\pi t}{l})]$

$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(t)cos(\frac{n\pi t}{l})dt,n=0,1,2,3...$

$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(t)sin(\frac{nut}{l}dt),n=1,2,3...$

斯特林公式 n!=$\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$,
伽马函数

${\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$

求幂级数常用公式

$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$(-1,1)

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^2}$(-1,1)

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)x^n=\frac{2}{(1-x{)}^3}$(-1,1)

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n+1}=-ln(1-x)$[-1,1)

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$(-1,1)

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=arctanx$[-1,1]

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=sinx$

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=cosx$

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$

曲线曲面积分

格林公式
$\underset{(+C)}{\int }P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\underset{(\sigma )}{\iint }(\frac{\sigma Q}{\sigma x}-\frac{\sigma P}{\sigma y})dxdy$

斯托克斯公式
$\underset{L}{\int }Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\sum }{\iint }\left[\begin{array}{ccc}cosa& cosB& cosr\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right]ds$

高斯公式
$\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$

不等式公式

$a^2+b^2\ge 2ab$

$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x,x\in (0,+\infty )$

$sinx<x<tanx$

$\sqrt[n]{a_1{a}_2...a_n}\le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

$e^x\ge 1+x$

$lnx\le x-1$

矩阵公式

伴随矩阵
$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{A}{|A|}$

$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$

$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 2)$

可逆矩阵
$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1})T$

$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

$|A^{-1}|=\frac{|A^{\ast }|}{|A|}$

分块矩阵
$\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right]=|A||B|$
 
$\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right]=(-1{)}^{m.n}|A||B|$(其中A代表m阶矩阵,B代表n阶矩阵)

已知分块矩阵求逆矩阵
$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right]$且A1,A2可逆, 则$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}_1^{-1}& 0\\ 0& A_2^{-1}\end{array}\right]$
另外一种情况:
 
$A=\left[\begin{array}{cc}0& A_1\\ A_2& 0\end{array}\right],则A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& A_2^{-1}\\ A_1^{-1}& 0\end{array}\right]$

相似矩阵
$A=P^{-1}BP$

常见分布公式

X~N(0,1)(标准正态分布)
X~N($u,{\sigma }^2$)(正态分布)
概率密度函数: $f(x)=(\frac{e^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sqrt{2\pi }\sigma })$

二维正态分布
联合概率密度:
$g(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-p^2}}exp$
 
$(-\frac{1}{2(1-p^2)}[\frac{(x-u_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2p\frac{(x-u_1)(y-u_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-u_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}])$

超几何分布
公式: $\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^M}$

指数分布
分布函数: $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& 0\le x\\ 0& x＜0\end{array}$

概率密度函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

均匀分布
X~U(a,b)
分布函数: $F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& a\le x<b\\ 1& b\le x\end{array}$

概率密度函数: $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& a<x<b\\ 0& 其它\end{array}$

二项分布
X~B(n,p)
分布律:$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

泊松分布
P(X=k)=$\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$, k>0
P(X1+X2=k)=$\frac{(X1+X2{)}^k}{k!}{e}^{-(X1+X2)}$

期望计算公式

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$
如果是E($X^2$)的话, 则
$E(X^2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx$,
所以可知左边X决定右边f(x)左边的X, 与f(x)概率密度无关
$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }k.P(X=k)$
离散型
$E(X)={\sum }_{i=1}^{\infty }{x}_i{P}_i$
$E[g(x)]={\sum }_{i=1}^{\infty }g(x_i)P_i$
$E[g(x,y)]={\sum }_i{\sum }_{j}g(x_i,y_i)P_{ij}$
连续型
$E(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$
$E[g(x)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$
$E[g(x,y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$

期望的性质
$E(C)=C$
E(aX)=aE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
XY独立→E(XY)=E(X)E(Y)

方差计算公式

方差=平方的期望-期望的平方
$D(X)=E[(\overline{X}-E(X){)}^2]$
$D(X)=E(X^2)-E^2(X)$

$\overline{X}与S^2$的联系

1 . E(X)=u, 则$E(\overline{X})=u$
2 . D(X)=${\sigma }^2$, 则$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$
3 . D(X)=${\sigma }^2$, 则$E(S^2)={\sigma }^2$

协方差计算公式

$cov(X,Y)=p\sqrt{D(X)D(Y)}$
$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$可知方差是协方差的特例, 因为方差=平方的期望-期望的平方
当两变量相互独立时, 根据公式2可知协方差的值为0

常见分布的期望与方差

二项分布B(n,p) 期望: np   方差: np(1-p)
 
泊松分布P(λ) 期望: λ   方差: λ
 
几何分布G§ 期望: $\frac{1}{p}$   方差: $\frac{1-p}{p^2}$
 
均匀分布U(a,b) 期望: $\frac{a+b}{2}$   方差: $\frac{(b-a{)}^2}{12}$
 
指数分布E(λ) 期望: $\frac{1}{\lambda }$   方差: $\frac{1}{{\lambda }^2}$
 
正态分布N(u, ${\sigma }^2$) 期望: u   方差: ${\sigma }^2$
 
$x^2分布x^2(n)$ 期望: n   方差: 2n
 
t分布t(n) 期望: 0   方差: $\frac{n}{n-2}$

其他分布

正态分布→标准正态分布→卡方分布→F分布

t分布: $\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$

X^2分布(卡方分布):是n个标准正态分布的平方和

F分布:
$F=\frac{X/n}{Y/m}\sim F(n,m)$一个卡方分布/其自由度 / 另一个卡方分布/其自由度