推导坐标旋转公式

1围绕原点的旋转

在《Flash actionScript 3.0 动画教程》一书中有一个旋转公式：

x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;

y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;

其中x，y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转angle后相对于旋转点的坐标

 

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式：

1。设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

2。求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3。求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4。显然dist1=dist2，设dist1=r所以：

　　r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

5。由三角函数两角和差公式知：

　　sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)

　　cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)

　　所以得出：

　　c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)

　　d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关:

 

从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。

以上转自http://www.cnblogs.com/ywxgod/archive/2010/08/06/1793609.html

2．座标系的旋转

在原坐标系xoy中,  绕原点沿逆时针方向旋转theta度， 变成座标系 sot。

设有某点p，在原坐标系中的坐标为 (x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。

oa = y sin(theta)   (2.1)

as = x cos(theta)   (2.2)

综合(2.1)，(2.2) 2式

s =  os =oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)

t =  ot =ay – ab = y cos(theta) – x sin(theta)

用行列式表达如下