47、联盟博弈的分析与紧凑表示

联盟博弈的分析与紧凑表示

1. 联盟博弈的核心概念

1.1 核心的定义

Shapley值定义了一种在大联盟成员间公平分配支付的方式，但它忽略了稳定性问题。我们会思考，在给定的支付分配方式下，参与者是否愿意组成大联盟，还是部分参与者更倾向于组成小联盟。

核心的定义如下：
定义：一个支付向量 (x) 处于联盟博弈 ((N, v)) 的核心中，当且仅当 (\forall S \subseteq N)，(\sum_{i\in S} x_i \geq v(S))。
这意味着，当且仅当没有子联盟有动机脱离大联盟并独立分配其所能获得的支付时，该支付才处于核心中。核心中的支付向量必须是严格预算平衡且个体理性的。

核心可被视为非合作博弈中Nash均衡的类似概念，但它是更强的概念。Nash均衡仅描述了单个参与者偏离的稳定性，而核心类似于强均衡概念，要求对任意参与者联盟的偏离都具有稳定性。

1.2 核心的计算

核心的计算可通过以下线性可行性问题来实现：
(\sum_{i\in S} x_i \geq v(S))，(\forall S \subseteq N)

1.3 核心的存在性与唯一性

核心存在两个疑问：
1. 核心是否总是非空？
2. 核心是否总是唯一？

答案都是否定的。例如，在议会例子中，四个政党的情况表明核心可能为空。当改变条件，如法案通过需要80%多数时，核心可能不唯一。

1.4 核心非空的条件

为了刻画联盟博弈何时具有非空核心，我们引入平衡权重的概念：
定义