33、加权独立系统上的非线性优化：算法与复杂度分析

加权独立系统上的非线性优化：算法与复杂度分析

1. 引言

在优化领域，非线性优化问题在许多实际场景中都有广泛的应用。本文将聚焦于加权独立系统上的非线性优化问题，介绍相关的算法、理论以及复杂度分析。

2. 基本算法与定义

首先，我们来看一个基本算法，用于解决特定的非线性优化问题。

input function f : Z →R presented by a comparison oracle,
w ∈{a1, . . . , ap}n and ¯x ∈{0, 1}n ;
let Ni := {j : wj = ai} and τi := λi(¯x) = |supp(¯x) ∩Ni|, i = 1, . . . , p ;
for every choice of ν = (ν1, . . . , νp) ≤(τ1, . . . , τp) = τ do
    determine some xν ≤¯x with λi(xν) = |supp(xν) ∩Ni| = νi,
    i = 1, . . . , p ;
end
output x∗as one minimizing f(wx) among the xν by using the
comparison oracle of f .

这个算法的步骤如下：
1. 输入函数 $f$、权重向量 $w$ 和向量 $\bar{x}$。
2. 计算 $N_i$ 和 $\tau_i$。
3. 对于每一个满足 $\nu \leq \tau$ 的 $\nu$，确定 $x_{\nu}$。