30、基于图的数据聚类的更宽松模型：s - 丛编辑

基于图的数据聚类的更宽松模型：s - 丛编辑

在图数据聚类领域，s - 丛编辑是一个重要的研究方向。下面将详细介绍s - 丛编辑相关的引理、定理以及算法。

问题核相关结论

• 引理 3 ：约简规则 2 是正确的，并且可以在$O(n^3)$时间内执行。这为后续问题核的计算提供了基础。
• 定理 1 ：对于$s \geq 2$，s - 丛编辑问题存在一个具有$(4s^2 - 2) \cdot k + 4(s - 1)^2$个顶点的问题核，并且可以在$O(n^4)$时间内计算得到。

下面详细阐述定理 1 的证明过程：
设$G_{opt}$是将一个大小$|S| \leq k$的解决方案$S$应用于输入图$G = (V, E)$后得到的 s - 丛聚类图，$K_1, \cdots, K_l$是$G_{opt}$中的 s - 丛。$G_{opt}$的顶点$V$可以划分为两个子集：
- $X$：是由$S$修改的边的端点组成的顶点集。
- $Y := V \setminus X$。

对于每个 s - 丛$K_i$，定义$X_i := X \cap K_i$和$Y_i := Y \cap K_i$。已知$|X| \leq 2k$，如果对于某个$i$，$|Y_i| > \max{\hat{s} \cdot |X_i|, 2\hat{s}}$，那么在$Y_i$中必定存在一个顶点$u$满足条件 C1 - C4。由于$N_{\frac{1}{2}}(u) \subseteq Y_i$且$N[u] \subseteq K_i$，顶点$