15、流量网络中放置监测器的算法

流量网络中放置监测器的算法

1. 引言

在流量边缘监测问题（Flow Edge - Monitor Problem，简称FlowMntrs）中，给定一个无向图 $G=(V, E)$、一个正整数 $k$ 以及图 $G$ 上的某个未知环流 $\psi$。目标是在图 $G$ 中找到 $k$ 条边，在这些边上放置 $k$ 个流量监测器来测量流经它们的流量，从而通过流量守恒特性唯一确定流量的边的总数达到最大。直观上，就是要最大化未被监测器覆盖的边所诱导的子图中的桥边数量。

例如，在图 1 中，有 $k = 4$ 个监测器（用附着在边上的矩形表示），测量得到的流量值和方向显示在矩形内。已知 $\psi(2, 3) = 4$，$\psi(3, 8) = 2$，$\psi(6, 4) = 7$ 和 $\psi(1, 2) = 1$，根据流量守恒特性，可以确定 $\psi(3, 5) = 2$，$\psi(8, 6) = 2$，$\psi(7, 5) = 3$ 和 $\psi(5, 6) = 5$。因此，使用 4 个监测器可以确定 8 条边的流量值。

研究结果如下：
- 首先证明了 FlowMntrs 问题是 NP 难的。
- 接着研究了多项式时间近似算法，引入了 $\sigma$ - Greedy 算法。该算法在每一步最多放置 $\sigma$ 个监测器，使得已知流量的边的数量最大化。证明了 1 - Greedy 是一个 3 - 近似算法，2 - Greedy 是一个 2 - 近似算法。这两个算法的运行时间分别为 $O((m + n)^2)$ 和 $O((m + n)^3)$，其中 $n = |V|$ 是顶点数，$m = |E|$ 是边数。而且，分析结果是紧的，这些近似结果也