Super A^B mod C 快速幂+欧拉降幂 C++语言

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一.题目来源

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759

二.题目大意

求解$A^B\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C$的结果（1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000）

三.解题思路

显然直接计算会超时。在遇到$A^B$时，我们一般会想到用快速幂算法(log(n))来快速求解，但这题当中B的值可以是10^1000000,这个数字很大很大，远超long long的最大取值。单纯靠快速幂算法也无法满足题目的时间要求，因此再引入欧拉降幂算法来进一步加速计算。

四、算法介绍

1.快速幂

代码如下：

#define ll long long
ll fastpow(int a,int n){
   
    //计算a^n 
	ll ans=1;
	while(n){
   
   
		if(n&1) ans=ans*a; //n&1 判断此时以二进制表示的n的末位是否为1
		n>>=1; //以二进制表示的n整体往右移动一位，高位补0，低位舍去
		a=(ll)a*a;
	}
	return ans;
}

模拟示例

计算$3^9$，对照代码中a=3，n=9(二进制表示为1001)

1. 第一轮while循环：n&1=9&1=1，ans=ans×a=1×3=3 ，n=(100)D=4，a=a×a=9
2. 第二轮while循环：n&1=4&1=0，ans不变，n=(10D)=2,a=a×a=81
3. 第三轮while循环：n&1=2&1=0，ans不变，n=(1D)=1,a=a×a=6561
4. 项目3.第四轮while循环：n&1=1&1=1，ans=ans×a=3×6561=19683，n=(0D)=0,a=a×a= 656 1 2 6561^2