博弈论

一、巴什博弈

1、问题模型：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜

2、解决思路：如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，(r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k(≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

3、结论：n%(m+1)==0 先取者必败,即物品是由后取者取完的；n%(m+1)!=0先取者必胜，即先取者一定能将物品取完

二、威佐夫博奕

1、问题模型：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜

2、解决思路：用（a[k]，b[k]）(a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们
称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
    可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k，奇异局势有如下三条性质：
    1)任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中(a[k]> a[k]-1 ，而 b[k]= a[k] + k > a[k-1] + k-1 = b[k-1] > a[k-1])
    2)任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势(若只改变奇异局势（a[k]，b[k]）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中;如果使（a[k]，b[k]）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势)
    3)采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
    假设面对的局势是(a,b)，若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；

如果a = a[k] ，b > b[k]，那么，取走b–b[k]个物体，即变为奇异局势；

如果 a = a[k],b < b[k] ,则同时从两堆中拿走 a-a[b-a]个物体；

如果a > a[k] ，b= a[k] + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – a[k] 即可；

如果a < a[k]，b= a[k] + k,分两种情况，第一种，a=a[j] （j < k）,从第二堆里面拿走 b – b[j] ;第二种，a=b[j] （j < k）,则从第二堆中拿走(b - a[j])即可
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

3、结论：任给一个局势（a，b），用此公式判断是否为奇异局势a[k] =[k（1+√5）/2]，b[k]= a[k] + k  （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)
先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = a[j+1]，b[j+1] = a[j+1]+j+1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

三、Fibonacci博弈

1、问题模型：有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足： 
1）先手不能在第一次把所有的石子取完； 
2）之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）
约定取走最后一个石子的人为赢家。

2、解决思路： 证明：根据“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。如n=83=55+21+5+2，我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，同理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。
反证：如果n是Fibonacci数，如n=89：记先手一开始所取的石子数为y
1）若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34。
2）y<34时剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，后手只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

3、结论：当n为Fibonacci数时，先手必败。即存在先手的必败态为当且仅当石头个数为Fibonacci数。

四、尼姆博弈

1、问题模型：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

2、解决思路：我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0,发现奇异状态的异或结果都为0

3、结论：用（a，b，c）表示某种局势，必败态的规律为：(a,b,c)是必败态等价于a^b^c=0(^表示异或运算）。

五、公平组合博弈

1、定义：
  1）两人参与。
  2）游戏局面的状态集合是有限。
  3）对于同一个局面，两个游戏者的可操作集合完全相同。
  4）游戏者轮流进行游戏。
  5）当无法进行操作时游戏结束，此时不能进行操作的一方算输。
  6）无论游戏如何进行，总可以在有限步数之内结束。
2、模型：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有公平组合游戏的抽象模型。其实，任何一个ICG都可以通过把每个局势看成一个顶点，对每个局势和它的子局势连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。
3、解决思路：两个P-状态的和总是P-状态，P-状态和N-状态的和总是N-状态。但是两个N-状态的和既可能是P-状态也可能是N-状态。因此，只知道单个游戏的P-状态和N-状态是不够的。
4、Sprague-Grudy定理：
令N = {0, 1, 2, 3, ...} 为自然数的集合。Sprague-Grundy 函数给游戏中的每个状态分配了一个自然数。结点v的Grundy值等于没有在v的后继的Grundy值中出现的最小自然数.
形式上：给定一个有限子集 S属于N,令mex S(最小排斥值)为没有出现在S中的最小自然数。定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
5、性质：
  1）所有的终结点所对应的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集——所有终结点是必败点（P点）。
  2）对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0——无论如何操作，从必败点（P点）都只能进入必胜点（N点）//对手走完又只能把N留给我们。
  3）对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继点y满足g(y)=0——从任何必胜点（N点）操作，至少有一种方法可以进入必败点（P点）//就是那种我们要走的方法。
6、应用：
  1）可选步数为1-m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1); 
  2）可选步数为任意步，SG(x) = x; 
  3）可选步数为一系列不连续的数，用mex(计算每个节点的值)