卡特兰数

最新推荐文章于 2020-09-04 17:01:58 发布

booyoungxu

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分类专栏： ACM

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令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：　

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

该递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)

通项公式

$C_n = /frac{1}{n+1}{2n/choose n} = /frac{(2n)!}{(n+1)!/,n!} /quad n/ge 0$

典型应用

1.括号化问题。

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种

2.将多边行划分为三角形问题。

将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

3.给顶节点组成二叉树的问题。

给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？(一定是二叉树!）

分析：先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))（能构成h（n）个）

4.出栈次序问题。

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n 位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1 和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有 n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的 2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

Catalan数问题的一个变形

n+m个人排队买票，并且满足 n /ge m ，票价为50元，其中n个人各手持一张50元钞票，m个人各手持一张100元钞票，除此之外大家身上没有任何其他的钱币，并且初始时候售票窗口没有钱，问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。

这个题目是Catalan数的变形，不考虑人与人的差异，如果m=n的话那么就是我们初始的Catalan数问题，也就是将手持50元的人看成是+1，手持100元的人看成是-1，任前k个数值的和都非负的序列数。

这个题目区别就在于n>m的情况，此时我们仍然可以用原先的证明方法考虑，假设我们要的情况数是 $D_{n+m}$ ，无法让每个人都买到的情况数是 $U_{n + m}$ ，那么就有 $D_{n + m} + U_{n +m} = {n + m /choose n}$ ，此时我们求 $U_{n + m}$ ，我们假设最早买不到票的人编号是k，他手持的是100元并且售票处没有钱，那么将前k个人的钱从50元变成100元，从100元变成50元，这时候就有n+1个人手持50元，m-1个手持100元的，所以就得到 $U_{n + m} = {n + m /choose n + 1}$ ，于是我们的结果就因此得到了，表达式是 $D_{n + m} = {n + m /choose n} - {n + m /choose n + 1}$ 。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <string>

using namespace std;

const int maxn = 100+10;

int a[maxn][maxn],b[maxn];
int n;

void catalan() //求n的卡特兰数
{
    int i,j,len,carry,temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 2*n; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
            a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
            len--;
        b[i] = len;
    }
}

int main()
{
    int len;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)//n个人拿100
    {
        if(!n)
            printf("1");
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        catalan();
        int len = b[n]-1;
        for(int i = len; i >= 0; i--)
        {
            printf("%d",a[n][i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}