求1~n的欧拉函数

直接用筛法比先求出欧拉函数快

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <string>

using namespace std;

const int maxn = 1000+10;

int phi[maxn];

void selEuler(int n, int* phi)
{
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j = i; j <= n; j += i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int t,n,ans;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        selEuler(n, phi);
        ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            ans += phi[i];
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}


<think>嗯,用户想知道如何用编程实现欧拉函数法。首先,我得回忆一下欧拉函数的定义。欧拉函数φ(n)是小于n且与n互质的正整数的个数。那怎么计算呢? 根据引用里的资料,用户提到了筛法和直接计算两种方法。比如引用2提到用筛法计算范围内所有数的欧拉函数值,而引用4中的C++代码则是通过遍历每个数,检查最大公约数是否为1来统计互质数的个数。这两种方法各有优劣,筛法适合批量计算,效率更高;而直接计算适合单个数的情况,但复杂度可能较高。 首先,我应该解释欧拉函数的基本概念,然后分步骤介绍不同的实现方法。比如,可以分成直接计算法和筛法优化法。直接法就是对于给定的n,遍历1到n-1的数,检查每个数是否与n互质,统计个数。这种方法简单直观,但时间复杂度是O(n log n),对于大的n来说效率不高。 然后筛法的话,类似于埃拉托斯特尼筛法,初始化一个数组phi,初始时phi[i] = i,然后遍历每个质数p,将phi[p]的倍数进行调整,乘以(1-1/p)。这种方法可以在O(n log log n)的时间复杂度内计算出1到n所有数的欧拉函数值,效率更高,尤其是需要计算多个数的欧拉函数时。 用户提供的引用中有C#、Java、C++的例子,我需要用这些作为参考,确保代码的正确性。比如,引用4中的C++代码用了遍历的方法,而引用2提到了筛法。我应该给出这两种方法的示例代码,比如用Python实现,这样用户更容易理解。 另外,用户可能想知道不同方法的应用场景。比如,当需要计算单个数的欧拉函数时,直接法可能更简单,而需要大量计算时,筛法更优。同时,要注意处理边界情况,比如n=0或1时的情况,但根据定义,φ(1)=1,而n<=0时可能没有定义,需要代码中进行判断。 在代码实现时,互质检查可以通过计算最大公约数是否为1,这可以用欧几里得算法来实现。筛法的部分,需要正确初始化数组,并正确处理每个质数的倍数。 可能的问题点:筛法的具体实现步骤是否正确,如何处理质因数分解后的调整。例如,在筛法中,对于每个质数p,遍历其倍数,如果该数能被p整除,则乘以(p-1)/p。这部分需要正确实现,可能需要分解质因数,但筛法其实可以结合质因数分解的过程。 还需要考虑用户是否了解欧几里得算法,所以在代码中可能需要给出最大公约数的实现,或者使用语言内置的函数。例如,Python中的math.gcd,但要注意处理负数,不过欧拉函数的参数是正整数,所以输入应该已经处理过。 总结下来,回答的结构应该是: 1. 欧拉函数的定义 2. 直接计算法:步骤和代码示例 3. 筛法优化:步骤和代码示例 4. 应用场景和注意事项 然后生成相关问题,比如时间复杂度、优化方法、应用场景等。 现在需要检查引用中的资料是否准确。比如引用4的C++代码确实是通过遍历并计算最大公约数来统计互质数的个数,正确。筛法的部分,引用2提到利用质因数的关系,所以筛法代码需要正确反映这一点。 在写筛法的Python代码时,应该初始化一个数组,然后从2开始遍历,如果是质数,则更新其倍数的phi值。例如: 初始化phi数组为0到n,然后对于每个i从2到n,如果i未被处理过(即phi[i]还是i),则遍历i的倍数j,将phi[j] *= (i-1)/i,并除以i的指数次幂。或者更准确的做法是,对于每个质数p,处理每个p的倍数,先除以p的所有因子,然后乘以p-1。这部分可能需要更详细的步骤。 或者,正确的筛法实现是: phi = list(range(n+1)) for p in 2到n: if phi[p] == p(说明是质数): for j in p的倍数: phi[j] -= phi[j] // p 或者另一种方式,类似于埃筛,对于每个质数p,遍历其倍数j,然后phi[j] *= (p-1)/p,但需要确保p是j的质因数。这可能比较复杂。 正确的筛法实现应该是,首先将phi数组初始化为索引值,然后对于每个质数p,遍历其倍数,并将phi[j]乘以(p-1)/p,但需要确保每个质数只处理一次。例如: def euler_sieve(n): phi = list(range(n+1)) for p in range(2, n+1): if phi[p] == p: # p是质数 for j in range(p, n+1, p): phi[j] -= phi[j] // p return phi 这样,对于每个质数p,处理其倍数j,将phi[j]乘以(1 - 1/p),即phi[j] *= (p-1)/p,但由于整数运算,可以用减法代替。例如,phi[j]初始为j,当处理p时,phi[j] = j * product( (1 - 1/p_i) ),其中p_i是j的质因数。这样,每当遇到一个质因数p,就将phi[j]减去phi[j]//p,这样等价于乘以(1-1/p)。这需要确认是否正确。 例如,当p是j的一个质因数,假设j的当前phi值为原来的phi值,此时处理p时,phi[j] -= phi[j]//p,相当于phi[j] = phi[j] * (1 - 1/p),因为原来的phi[j]是j乘以已经处理过的质因数的乘积。例如,当j=6,初始phi=6,当处理p=2时,phi[6] =6 -6//2=6-3=3;当处理p=3时,phi[6]=3 -3//3=3-1=2,而φ(6)=2,正确。所以这种方法是可行的。 因此,筛法的实现是正确的。所以,在回答中需要解释这两种方法,并给出相应的代码示例。同时,注意引用的来源,比如引用2和4中的方法,所以在回答末尾添加引用标识。 最后,生成相关问题,例如不同的实现方法的比较、时间复杂度分析、应用场景等。</think>### 欧拉函数的编程实现方法 欧拉函数 $φ(n)$ 表示小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。以下是两种常用的编程实现方法: --- #### **方法一:直接计算法(基于最大公约数)** **步骤**: 1. 遍历 $1$ 到 $n-1$ 的所有整数。 2. 对每个整数 $k$,检查 $\gcd(n, k) = 1$。 3. 统计符合条件的 $k$ 的总数。 **Python 示例**: ```python import math def euler_phi(n): count = 0 for k in range(1, n): if math.gcd(n, k) == 1: count += 1 return count ``` **时间复杂度**:$O(n \log n)$,适用于小规模计算[^4]。 --- #### **方法二:筛法优化(批量计算)** **步骤**: 1. 初始化数组 `phi`,令 `phi[i] = i`。 2. 遍历 $2$ 到 $n$,若 $i$ 是质数,则调整其倍数的欧拉函数值。 3. 调整规则:对每个质数 $p$,其倍数 $j$ 的欧拉值为 $\phi[j] = \phi[j] \cdot (1 - \frac{1}{p})$。 **Python 示例**: ```python def euler_sieve(n): phi = list(range(n + 1)) for p in range(2, n + 1): if phi[p] == p: # p是质数 for j in range(p, n + 1, p): phi[j] -= phi[j] // p return phi ``` **时间复杂度**:$O(n \log \log n)$,适合计算区间内所有数的欧拉函数[^2]。 --- #### **应用场景** - **直接计算法**:适用于单次查询或小范围计算(如 $n \leq 10^6$)。 - **筛法优化**:适用于需要多次查询或批量计算(如预处理 $1$ 到 $10^7$ 的欧拉函数值)。 --- #### **注意事项** 1. 输入 $n$ 需为正整数,否则需做异常处理。 2. 筛法实现需注意数组初始化和质数判断逻辑[^3]。 ---
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