letcode-不含连续1的非负整数

最新推荐文章于 2026-01-05 22:36:07 发布

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博客讨论了如何通过动态规划和斐波那契数列优化算法，在不超过给定非负整数的二进制表示中，计算不包含连续1的数的数量。作者指出，原始的暴力循环方法在处理大数时会超时，并提出了一种改进方法，预先计算并存储斐波那契数，从而在O(31)的时间复杂度内解决问题。

不含连续1的非负整数

刚开始写了个暴力循环，发现计算到：1000000000 时超时了，然后自己单独计算发现需要4秒才能算完，那么O(n) 时间遍历肯定是不行了。
根据题目提示：二进制不包含连续1，那么应该使用动态规划。

动态规划的定义之一：将递归算法重新写为非递归算法，该非递归算法需要把递归算法过程中的子问题答案记录到一个表中。
根据该定义，我们对不同的位数的二进制数进行统计，有多少个合规数：

一、 1 位时：2个
0
1
二、 2位时：3个
00
01
10
三、 3位时：5个
000
001
010
100
101
四、 4位时：8个
0000
0001
0010
0100
0101
1000
1001
1010

…
当前问题求解，可以看成输入数的二进制表示的二叉树上，从根节点到叶节点的所有路径中，不包含连续1的路径的总数
…

很容易得到规律，设X为二进制数位数，当F(X) 表示X位最大二进制数范围内，满足条件的数的个数，那么有：
F(X) = F(X - 1) + F(X - 2) （这不就是斐波那契数列么）。
[仅仅满足满二叉树情况，例如：10000000这种，对于型如：10010100 的数据需要做额外的补偿]
二进制数： 10010100 （十进制：148）可以做如下拆解：

排除重复的，最终：T(148) = F(7) + F(4) + F(2) + F(0);

class Solution {
    private final static int[] dict = {1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,
                6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,1346269,2178309};
    public int findIntegers(int n) {
        char[] bStr = Integer.toBinaryString(n).toCharArray();
        int num = dict[bStr.length - 1];
        for(int i = 1; i < bStr.length; i++){
            if (bStr[i] == '1') {
                num += dict[bStr.length - 1 - i];
                if (bStr[i - 1] == '1'){
                    return num;// 连续两位为 1
                }
            }
        }
        return ++num;
    }
}