ElGamal公钥密码和椭圆曲线密码体制

ElGamal公钥密码
基于有限域上离散对数问题的公钥密码体制，最著名的是ElGamal体制，是由T. ElGamal在1985年提出的 ElGamal有较好的安全性，同一明文在不同时刻会产生不同的密文 应用广泛，尤其数字签名方面的应用，著明的美国数字签名标准DSS就是ElGamal的一种变形。

离散对数问题 设 p是素数，g 是 Zp* 的本原元：即 g1, g2, …, gp−1 在 mod p 下产生 1 到 p−1 的所有值 对任意 y∈[1, …, p−1]，有唯一的 x∈[1, …, p−1]使得 y≡gx mod p 称 x 为模 p 下以 g 为底 y 的离散对数，记为 x≡loggy mod p 当g, p, x已知时，计算 y的值比较容易，但如果已知g, p, y，求 x 则非常困难。

密钥生成算法KG：
选择一素数 p ， Zp= [1, …, p−1]
g 是 Zp* 的一个本原元
选择随机数 x∈[1，p−1], 计算 y=gx mod p
私钥为 x，公钥为 y。g 和 p 可由一组用户共享。
*已知{x, g, p}, 计算y是容易的
已知{y, g, p}, 计算x是困难的

加密算法：
c1=gk (mod p)
c2=myk (mod p)
C=(c1,c2)

解密算法：
m=c2(c1x)-1 mod p

例：假设 p=2579, 本原元g=2，私钥为 x=765，则公钥 y=2765 mod 2579=949。若消息 m=1299，
加密：A选择随机数k=853，使用公钥y=949
计算 c1=2853 mod 2579=435
和 c2=1299*949853 mod 2579=2396。
发送密文（435，2396）
解密：B解密消息，使用私钥x=765
m = 2396*(435765)-1 mod 2579=1299。