【信息学奥赛一本通 C++题解】1282：最大子矩阵

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统
基础算法 第一节 动态规划的基本模型
1282：最大子矩阵

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最大子矩阵问题讲解

1. 理解题意

同学们，想象我们有一张方格纸，上面每个方格里都写了一个数字，这就像一个数字矩阵。我们要在这个数字矩阵里，找到一块小的方形区域（也就是子矩阵），这个小区域里所有数字加起来的和要比其他任何小区域的和都大。比如，给我们一个有好多数字的大矩阵，我们要把所有可能的小矩阵都找出来，算出它们各自的数字总和，然后挑出总和最大的那个小矩阵，最后输出这个最大的总和是多少。这就是我们要解决的问题哦。

2. 解题思路

我们有一个更聪明的办法来解决这个问题，就是先把矩阵里的数字做一些处理，算出每个位置到矩阵左上角的数字总和（这就是前缀和）。然后，我们通过确定子矩阵的上下边界和左右边界，利用之前算好的前缀和，快速算出这个子矩阵的数字总和。不用像之前那样每次都一个一个地去加子矩阵里的数字啦。最后，把所有算出来的子矩阵总和进行比较，找出最大的那个。

3. 解题步骤

1. 输入矩阵：首先，我们要知道这个数字矩阵有多大，也就是输入矩阵的边长 n。然后把矩阵里每个方格的数字都一个一个地输入到我们的程序里。
2. 计算前缀和：对于矩阵里的每个位置，算出从矩阵左上角到这个位置的所有数字的总和，把这个总和存起来。这样，我们就得到了一个前缀和矩阵。
3. 枚举子矩阵边界：用循环来确定子矩阵的上下边界和左右边界。先确定上边界和下边界，对于每一对确定的上下边界，再去确定左右边界。
4. 计算子矩阵和：当子矩阵的上下左右边界都确定后，利用前缀和矩阵，快速算出这个子矩阵的数字总和。
5. 比较和找出最大：每算出一个子矩阵的和，就和之前找到的最大和比较一下。如果这个和比之前的最大和大，那就把这个和当成新的最大和。
6. 输出结果：最后，把找到的最大和输出出来，这就是最大子矩阵的大小。

4. C++代码实现

#include <iostream> // 包含输入输出功能的头文件，能让我们输入矩阵数字和输出结果
using namespace std; 

int main() {
    int n; // 定义变量n，用来存矩阵的边长，也就是矩阵是几乘几的
    cin >> n; // 从键盘输入矩阵的边长n

    int a[101][101]; // 定义二维数组a，用来存矩阵里的数字，最多存101乘101的矩阵
    int s[101][101] = {0}; // 定义二维数组s存前缀和，初始都为0

    // 输入矩阵的数字并计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++) { 
        for (int j = 1; j <= n; j++) { 
            cin >> a[i][j]; // 输入矩阵第i行第j列的数字
            // 计算前缀和，就是把左上角到当前位置的数字都加起来
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; 
        }
    }

    int maxs = -128 * 100 * 100; // 定义变量maxs存最大和，初始设为一个很小的值

    // 枚举子矩阵的上边界i1和下边界i2
    for (int i1 = 1; i1 <= n; i1++) { 
        for (int i2 = i1; i2 <= n; i2++) { 
            // 对于每对上下边界，枚举子矩阵的左边界j1和右边界j2
            for (int j1 = 1; j1 <= n; j1++) { 
                for (int j2 = j1; j2 <= n; j2++) { 
                    // 利用前缀和计算子矩阵的和
                    int subs = s[i2][j2] - s[i1 - 1][j2] - s[i2][j1 - 1] + s[i1 - 1][j1 - 1]; 
                    if (subs > maxs) { // 如果当前子矩阵和大于最大和
                        maxs = subs; // 更新最大和
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout << maxs << endl; // 输出最大子矩阵的和
    return 0; 
}

5. 知识点总结

1. 二维数组：我们用了两个二维数组，a 数组存原始的矩阵数字，s 数组存前缀和。二维数组就像一个表格，有行和列，我们可以通过行和列的下标找到对应的数字。
2. 前缀和：这是一个很有用的技巧，通过计算前缀和，我们可以快速算出子矩阵的和。前缀和就是从矩阵左上角到某个位置的所有数字的总和。
3. 循环嵌套：在程序里，我们用了好几层循环。循环可以让我们重复做一些事情，循环嵌套就是一个循环里面还有另一个循环。这里我们用循环嵌套来枚举子矩阵的边界。
4. 比较和赋值：我们用 if 语句来比较子矩阵的和与当前的最大和，如果子矩阵的和更大，就把它赋值给最大和。这让我们能找到最大的子矩阵和。