几道概率题

题目： 一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。

方法： 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。

这是一个求数学期望的问题，最终是求1，2，3出现至少一次的最短长度的期望。

这样分叉树的每个节点是一个期望状态，而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现1、2、3各至少一次的情形记作L123（即题目所求），将后续期望出现1、2各至少一次（3无关）情形记作L12，而1至少一次（2，3无关）情形L1，其余数值符号类推，则树结构如下（列出4级结构已经足够）：

第一级（树根）	第二级	第三级	第四级别
L123	掷1->L23	掷1->L23	同状态
		掷2->L3	根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标
		掷3->L2	根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标
	掷2->L13	掷1->L3	根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标
		掷2->L13	同状态
		掷3->L1	根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标
	掷3->L12	掷1->L2	根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标
		掷2->L1	根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标
		掷3->L12	同状态

接下来，就是要排出方程，因为一共7个未知数，如果排出7个线性方程就能解决问题。

这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。

根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：

L123 = p1 (L23+ 1) + p2 (L13+1) + p3 (L12 + 1) = p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 + 1

（以这个L123为例，解释，投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次，于是长度期望是L23+ 1，加1是因为投掷了一次，亦即即增进一级）

L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 + 1

L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 + 1

L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 + 1

L1 =p2 L1+ p3 L1 + 1

（这里实际上是 L1 =p1 ·1 + p2 (L1+1) + p3 (L1 +1) =p2 L1+ p3 L1 + 1，因为对L1情形，如果投了1就目的达到终止了）

L2 = p1 L2 +  p3 L2 + 1

L3 =p1 L3 +p2 L3+ 1

（以上一开始没注意，多加了悬空的概率项，故计算有误）

其中 p1，p2 和 p3分别是掷出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。

于是求解这个方程，得到：

L1 = 6， L2 = 3， L3 = 2

L12 = 7， L13 = 13/2， L23 = 19/5

L123 = 219/30 = 7.3 

故以上如果没有计算错误，该题结果是，平均掷7.3次可出现这些面值各至少一次。

从棋盘原点开始扔骰子，到达某一个终点的概率

棋盘上共有2020个格子，从1开始顺序编号。棋子初始放在第1格，通过扔骰子决定前进格子数，扔出x点就前进x格。骰子有6面，分别对应1至6；质量均匀。当棋子到达2014或超过2014，游戏结束。那么，棋子刚好到达2014的概率与______最接近。
2/3
1/2
1/3
2/7
1/6
1/7 

最终游戏停止时停的位置是2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019，利用f[i]来表示到达格子i的方法数，由于到达2014之前的每个格子概率可以看作相等，那么：

f[2014] = f[2013]+...+f[2008]    -----由前6个格子得到

f[2015] = f[2013]+...+f[2009]    -----由前5个格子得到

。。。。。。

f[2019] = f[2013]                        -----由前1个格子得到

那么近似概率P = 6 / (1+..+6) = 2/7