钟表上的数学问题

钟表上有很多有趣的数学问题，下面就循序渐进的带大家走入神秘的钟表问题。

 

1.中午12点整的时候，时针与分针发生重合。请问下一次重合是什么时刻？

初略的看，12点之后1点之前，分针永远在时针前面，可以感受到重合将会发生在1点05分和1点10分之间。

我们假设1点X分时两针重合。注意到分针的速度是时针的12倍，于是我们便有方程：x = x / 12 + 5.

解得x = 60 / 11. 所以1点5分60/11秒，时针与分针再次重合。

 

2.一天24小时之内，时针与分针发生了多少次重合？

如果我们硬要用数学方法算，则如下：

记x为从零点整开始过了x分钟后两针重合，方程的解的个数就是答案：x % 60 = (x / 12) % 60，0 <= x < 60*24=1440

直接去求方程的解的个数是比较麻烦的。当然可以求出有22个解。

这里给出一个比较直观简单的想法。

从零点整开始到零点59分59秒，有一次重叠，这是显然的；

从1点整到1点59分59秒，有一次重叠，这是因为分针扫了一周，而时针只是从1走到了2；

从2点整到2点59分59秒，类似的，也有一次重叠；

……

这样下去貌似每个小时段都会有重叠发生。那么到底有没有例外呢？

有。在11点整到11点59分59秒，这里是不会发生重叠的。为什么？

因为12点整两针重叠，往前的一小段时间里分针永远在时针后面（我们假设回拨时钟，则分针走得都比时针快）。

于是我们便有了最终答案，除去两个11点，一天里便发生24 - 2 = 22次重叠。

还有一种思路是，我们考虑12小时内，时针转了一圈，分针装了12圈，所以发生了11次重合（刚满12小时那一瞬间重合是不算的）。

这样得出的结论也是22次。

3.算出所有两针重叠的时刻

注意到两次相邻重叠的时间间隔是一样的。为什么？可以这样考虑。设某时刻两针重叠，过x分钟再次重叠。

有 x - x / 12 = 60.可以解出 x ＝ 60 + 60 / 11.
这样我们便知道重叠时分针都在时钟盘面的11等分处。
于是答案便是：0时0分，1时60/11分，2时120/11分，……，10时600/11分，12时0分，13时60/11分，……，22时600/11分


4.当时针分针重合，秒针指在49秒处，问现在时几点？
由上面的结论，注意60*4/11分约等于21分49秒，所以答案是4时21分49秒或16时21分49秒。怎么算出是4？
对于60k/11,49秒约为9/11分（49*11/60约为9），也就是60k除以11余9，注意60除以11余5，我们很快就想到了5*4除以11余9，4就是这样出来的。


5.两针夹角成x度(0 <= x <= 180)，一天之内会发生多少次？
当x为0时，便是我们熟悉的22次。其他情况怎么算？
我们可以充分利用已经得到的结论。

我们先考虑0 < x <= 90。这里有两种情形，一种是分针领先于时针，另外一种分针落后时针也可以形成固定角度。

对于领先的情形，我们这样考虑。假设某时刻分针领先于时针x度，则下一次再次领先于时针x度需要多长时间？
还是和3题里面一样的方程，同样也有3题一样的结论，就是领先于时针x度有22次。能理解么？

对于落后的情形亦是如此，也有22次。

所以对于x = 0 或 x = 180，重叠会发生22次；对于0 < x < 180， 重叠会发生四十四次。

6.三针重叠一天会发生多少次（未完待续）

总结

讲了这么多，让我们来总结下规律。

注意到分针的速度为6°每分钟，时针的速度为0.5°每分钟，我们便有：

时针角度公式

这里是时针与12刻度顺时针方向形成的角度，当前时间为从12点开始算过了时分，则为过去的总分钟数

分针角度公式

这里是时针与12刻度顺时针方向形成的角度

例子

当前时间7:23，则时针角度为：(60 * 7 + 23) / 2 = 221.5；分针角度为：23 * 6 = 138

时针分针夹角公式

例子

当前时间2:15，则两针夹角为：| (60 * 2 - 11 * 15) / 2 | = 22.5

现在我们回头看看原先的重合问题。

重合即两个角度相等，便有方程：

这里为0~11的整数，于是结果便是：0:00, 1:05.45, 2:10.90, 3:16.36,……

参考：

https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Clock_angle_problem