[luogu-2822]noip2016-day2-T1 组合数问题题解_t222198 [noip2016 提高组] 组合数问题-优快云博客

本文介绍了一种使用预处理方法解决特定组合数问题的高效算法。通过递推公式预处理所有组合数，并利用模运算优化计算过程，避免了传统方法中的时间和空间开销。此外，还给出了完整的代码实现。

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题目传送门
题意解析：题目就是给了你一个k，然后还有T组数据，然后问你在i<=n和j<=i的情况下C(i,j)%k==0的个数。

My opinion：这题一开始看到是就是满眼的要TLE，不过我知道一个递推公式，可以表示出C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)(m>=2,n>=1)，这样我们就可以直接预处理出所有的C(n,m)，但是我发现，C(2000,1000)会爆掉long long，所以完全不可以。不过很容易看出C(n,m)%k=(C(n-1,m)%k+C(n-1,m-1)%k)%k，所以能不能整除k，我们可以在预处理的时候一起处理出来，然后在加上一个前缀和就可以直接预处理出所有答案了。（白痴的我在比赛里居然没有看出这么明显的C(n,m)%k=(C(n-1,m)%k+C(n-1,m-1)%k)%k，只能在角落画圈圈，诅咒那些一等狗）。
总结：
1、预处理，记得如果j=1的时候特殊处理。
2、直接输出即可。

让我像个白痴一样的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)
#define Clear(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define ll long long
#define INF 2000000000
#define eps 1e-8
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int maxn=2005;
int k;
int f[maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
int main(){
    int T=read();
    k=read();
    rep(i,1,maxn-5){
        f[i][1]=i%k;
        sum[i][1]=sum[i-1][1]+(f[i][1]==0?1:0);
        rep(j,2,i){
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%k;
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+(f[i][j]==0?1:0);
        }
        rep(j,i+1,maxn-5)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
    }
    while (T--){
        int n=read(),m=read();
        printf("%d\n",sum[n][m]);
    }
    return 0;
}