迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法是图论中最经典的两种最短路径算法-优快云博客

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法是图论中最经典的两种最短路径算法，各有其适用场景与实现特点。

1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra）——单源最短路径

适用条件：图中边权非负（不能有负权边），适合稀疏图。
核心思想：
- 维护一个距离数组 dist[]，表示从源点到各顶点的当前最短距离。
- 使用集合 S 记录已确定最短路径的顶点，T 表示未确定的顶点。
- 每次选择 T 中 dist 最小的顶点 u，将其加入 S，并以 u 为中间点松弛其邻接点的距离（即尝试通过 u 改善其他点的距离）。
时间复杂度：
- 使用邻接矩阵：O(V²)
- 使用优先队列（堆优化）：O((V + E) log V)，适合稀疏图
不能处理负权边，因为一旦某个点被标记为“已确定”，就不会再更新，而负权边可能导致后续更短路径出现。

2. 弗洛伊德算法（Floyd）——所有顶点对之间的最短路径

适用条件：允许负权边，但不能有负权环；适合稠密图。
核心思想：
- 基于动态规划，使用三维状态思想但在二维数组上迭代。
- 初始时用邻接矩阵 dis[i][j] 存储直接边权或 ∞。
- 枚举中间点 k（从 1 到 n），更新所有点对 (i, j) 的距离：
```
if dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]:
    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]
```
- 经过 n 轮后，dis[i][j] 即为 i 到 j 的最短路径。
时间复杂度：O(V³)，空间复杂度 O(V²)
优点：代码简洁，易于实现，能检测负权环（只需检查对角线是否有负值）

总结对比：

特性	Dijkstra	Floyd
解决问题	单源最短路径	所有顶点对最短路径
时间复杂度	O(V²) 或 O((V+E)logV)	O(V³)
空间复杂度	O(V) 或 O(V²)	O(V²)
是否支持负权边	❌ 不支持	✅ 支持（无负权环）
适合图类型	稀疏图	稠密图
实现难度	中等（需维护集合/堆）	简单（三重循环）

使用最小堆（优先队列）优化的 Dijkstra 算法可以显著提升性能，尤其适用于稀疏图。Python 中可通过 heapq 模块实现最小堆。

✅ 算法步骤（堆优化版）：

初始化源点距离为 0，其余顶点距离为 ∞。
将 (距离, 顶点) 入堆。
循环取堆中距离最小的顶点 u，若已访问则跳过。
遍历 u 的所有邻接点 v，尝试通过 u 松弛 v 的距离。
若找到更短路径，则将新距离入堆。
直到堆为空。

⚠️ 注意：同一个顶点可能多次入堆（不同路径长度），我们只处理第一次出堆（最小距离）的情况。

✅ Python 实现代码（邻接表 + 堆优化）

import heapq
from collections import defaultdict
import math

def dijkstra_heap(graph, start):
    """
    使用最小堆优化的Dijkstra算法求单源最短路径
    :param graph: 邻接表，格式 {u: [(v, weight), ...]}
    :param start: 起始顶点
    :return: 字典 dist，表示从 start 到各点的最短距离
    """
    # 初始化距离字典
    dist = defaultdict(lambda: math.inf)
    dist[start] = 0
    
    # 最小堆：(距离, 顶点)
    heap = [(0, start)]
    visited = set()
    
    while heap:
        d, u = heapq.heappop(heap)
        
        # 如果该节点已处理，跳过（懒删除）
        if u in visited:
            continue
        visited.add(u)
        
        # 遍历邻居
        for v, w in graph[u]:
            if d + w < dist[v]:
                dist[v] = d + w
                heapq.heappush(heap, (dist[v], v))
    
    return dict(dist)

# 示例使用
if __name__ == "__main__":
    # 构建图：A=0, B=1, C=2, D=3
    graph = defaultdict(list)
    graph[0].append((1, 4))
    graph[0].append((2, 1))
    graph[1].append((3, 1))
    graph[2].append((1, 2))
    graph[2].append((3, 5))
    graph[1].append((2, 1))  # 双向边示例

    distances = dijkstra_heap(graph, 0)
    print("最短距离:", distances)  # 输出: {0: 0, 2: 1, 1: 3, 3: 4}