图是数据结构中一种重要的非线性结构，用于表示对象之间的多对多关系

图是数据结构中一种重要的非线性结构，用于表示对象之间的多对多关系。以下是对你提供内容的系统化梳理与补充说明：

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一、图的核心概念

1. 连通图与连通分量

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点之间都存在路径，则称该图为连通图。
• 连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量。
  • “极大”意味着不能再加入更多顶点和边而保持连通性。
  • 对于非连通图，它有多个连通分量。

✅ 示例：一个由三个互不相连的三角形组成的无向图，共有3个连通分量。

2. 强连通图与强连通分量

• 强连通图：在有向图中，若任意两顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 之间都互相可达（即存在 $v_i\to v_j$ 和 $v_j\to v_i$ 的路径），则称为强连通图。
• 强连通分量：有向图中的极大连通子图，其中每对顶点都互相可达。
  • 注意：不是所有有向图都是强连通的，但每个顶点本身至少属于一个强连通分量。

🔍 应用：Kosaraju算法、Tarjan算法可用于求解有向图的强连通分量。

3. 网（网络图）

• 指边或弧上带有权值的图，通常表示距离、成本、时间等。
• 权可以为正数、负数（需注意负权环）、零。
• 常见于最短路径问题（如Dijkstra、Floyd-Warshall）和最小生成树（如Prim、Kruskal）。

4. 有向树

• 一种特殊的有向图：
  • 恰有一个顶点入度为0（称为根节点）；
  • 其余顶点入度均为1；
  • 忽略方向后形成一棵树。
• 特点：从根出发可到达所有其他节点，且无环。

📌 应用：常用于表示组织结构、文件系统、语法树等层次结构。

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二、图的存储结构 —— 邻接矩阵表示法

基本定义

• 使用一个 $n\times n$ 的二维数组 A 表示具有 $n$ 个顶点的图。
• 元素定义如下：
  $$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}1& \text{若 }(v_i,v_j)\text{ 或 }⟨v_i,v_j⟩\text{ 是边}\\ 0& \text{否则}\end{array}$$

特性分析

图类型	邻接矩阵性质	度的计算方式
无向图	对称矩阵（$A[i][j]=A[j][i]$）	顶点 $v_i$ 的度 = 第 $i$ 行（或列）中非0元素个数
有向图	不一定对称	出度 = 第 $i$ 行非0个数；入度 = 第 $i$ 列非0个数

网的邻接矩阵

对于带权图（网），邻接矩阵定义为：
$$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}{W}_{ij}& \text{若存在边 }(v_i,v_j)\\ \infty & \text{否则（或用特殊值如 -1、INF 表示无穷大）}\end{array}$$

• 实现时常用 float('inf') 或一个极大值代替 $\infty$。
• 主对角线一般设为 0（自身到自身的距离为0）。

优缺点总结

优点	缺点
边的存在性查询快（$O(1)$）	空间复杂度高：$O(n^2)$，稀疏图浪费严重
易实现图算法（如Floyd）	插入/删除顶点代价高（需重新分配矩阵）
支持快速计算度、路径判断	不适合顶点数极多但边很少的情况（稀疏图）

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✅ 适用场景建议：

• 顶点数量较少且图较稠密时，优先使用邻接矩阵；
• 若图稀疏，推荐使用邻接表以节省空间。

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判断一个有向图是否为强连通图，可以基于邻接矩阵使用以下方法：

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✅ 方法：利用深度优先搜索（DFS）或可达性矩阵

由于邻接矩阵本身只表示直接边的关系，要判断强连通性，需要知道任意两个顶点之间是否互相可达。具体步骤如下：

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🔧 步骤一：从任一顶点出发进行 DFS（基于邻接矩阵）

1. 选择任意一个顶点 $v_0$；
2. 使用邻接矩阵实现 DFS，记录能访问到的所有顶点；
3. 如果不能访问所有 $n$ 个顶点 → 不是强连通图。

🔧 步骤二：将邻接矩阵转置（即边反向），再做一次 DFS

• 转置矩阵 $A^T$ 表示原图中所有边的方向反转；
• 在转置图上从同一个顶点 $v_0$ 开始 DFS；
• 若仍不能访问全部顶点 → 也不是强连通图。

💡 原理：若在原图和反图中都能从 $v_0$ 到达所有其他点，则说明任意两点间双向可达。

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✅ 判定条件：

只有当 原图的 DFS 访问了所有顶点，且 反图的 DFS 也访问了所有顶点 时，该有向图才是强连通图。

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🧮 示例代码（Python 风格伪代码）

def is_strongly_connected(adj_matrix):
    n = len(adj_matrix)
    
    def dfs(start, graph):
        visited = [False] * n
        stack = [start]
        while stack:
            u = stack.pop()
            if not visited[u]:
                visited[u] = True
                for v in range(n):
                    if graph[u][v] and not visited[v]:
                        stack.append(v)
        return visited

    # 第一步：原图 DFS
    visited1 = dfs(0, adj_matrix)
    if not all(visited1):
        return False

    # 第二步：转置图 DFS（边反向）
    transpose = [[adj_matrix[j][i] for j in range(n)] for i in range(n)]
    visited2 = dfs(0, transpose)
    if not all(visited2):
        return False

    return True

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⏱️ 时间复杂度

• 每次 DFS：$O(n^2)$（因为遍历整个矩阵的行）；
• 总时间复杂度：$O(n^2)$；
• 空间复杂度：$O(n)$（用于 visited 数组和栈）。

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✅ 补充说明：

• 对于更大的图或频繁查询，可构造可达性矩阵（如用 Floyd-Warshall 算法传递闭包），然后检查是否所有点对 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 均可达。
• Floyd-Warshall 后判断：对所有 $i,j$，都有 reach[i][j] == True 且 reach[j][i] == True。

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