顺序存储结构和链式存储结构是二叉树的两种主要存储方式，各有优缺点和适用场景

顺序存储结构和链式存储结构是二叉树的两种主要存储方式，各有优缺点和适用场景。

1. 顺序存储结构

   • 适用场景：特别适合完全二叉树，如堆（Heap）等数据结构。
   • 存储规则：
     • 根节点存放在数组下标为 1 的位置（通常舍弃下标 0，便于计算）；
     • 对于下标为 i 的节点：
       • 左孩子下标为 2i；
       • 右孩子下标为 2i + 1；
       • 父节点下标为 i // 2（i > 1）。
   • 优点：
     • 存储紧凑，无需额外指针；
     • 访问任意节点的孩子或父节点非常高效（通过下标直接计算）。
   • 缺点：
     • 对于非完全二叉树，必须用“虚结点”填充空缺位置，导致严重空间浪费；
     • 最坏情况：深度为 k 的单支树（如所有节点只有右孩子），需要 2^k - 1 的存储空间，但实际仅使用 k 个节点。

2. 链式存储结构

   • 二叉链表：
     • 每个节点包含三部分：data（数据域）、left（左孩子指针）、right（右孩子指针）。
     • 结构灵活，适用于任意形状的二叉树。
   • 三叉链表：
     • 在二叉链表基础上增加 parent 指针，用于指向双亲节点。
     • 更方便实现某些操作（如回溯父节点）。
   • 优点：
     • 空间利用率高，不需填充虚结点；
     • 易于插入、删除节点，动态性强。
   • 缺点：
     • 二叉链表中查找父节点需从根遍历（除非使用三叉链表）；
     • 指针占用额外空间，有一定存储开销。

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存储方式	优点	缺点
顺序存储	访问孩子/父节点快，实现简单	非完全二叉树时空间浪费严重
链式存储	空间利用率高，适应任意二叉树	查找父节点慢（二叉链表），有指针开销

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总结选择建议：

• 若处理的是完全二叉树（如堆、哈夫曼树数组表示），优先使用顺序存储；
• 若处理的是普通或形态不规则的二叉树，应选用链式存储以节省空间并提高灵活性。

# 示例：二叉链表的Python类定义
class TreeNode:
    def __init__(self, val=0):
        self.data = val
        self.left = None
        self.right = None

# 三叉链表扩展（含父节点）
class TriTreeNode:
    def __init__(self, val=0):
        self.data = val
        self.left = None
        self.right = None
        self.parent = None

顺序存储通常将根节点放在数组下标 1 而不是 0，主要是为了简化父子节点之间的下标计算公式，使逻辑更清晰、计算更高效。

原因详解：

当根节点存放在下标 1 时，对于任意下标为 i 的节点：

• 左孩子下标 = 2 * i
• 右孩子下标 = 2 * i + 1
• 父节点下标 = i // 2（i > 1）

这些公式简洁且具有数学上的对称性，便于程序实现和手动推导。

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示例说明：

假设数组从下标 1 开始存储，有如下完全二叉树：

        A
       / \
      B   C
     / \ / \
    D  E F  G

存储数组（索引 1~7）：

index:  1   2   3   4   5   6   7
      [A,  B,  C,  D,  E,  F,  G]

验证关系：

• A (i=1)：左孩子 = 2×1 = 2 → B；右孩子 = 2×1+1 = 3 → C
• B (i=2)：左孩子 = 4 → D；右孩子 = 5 → E
• C (i=3)：左孩子 = 6 → F；右孩子 = 7 → G
• E (i=5)：父节点 = 5//2 = 2 → B ✅

所有关系都自然成立，无需额外调整。

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如果从下标 0 开始会怎样？

若根节点放在下标 0，则需要重新定义规则：

• 节点 i 的：
  • 左孩子 = 2*i + 1
  • 右孩子 = 2*i + 2
  • 父节点 = (i - 1) // 2

虽然也能工作（现代堆实现中常见），但失去了整除与倍数的直观美感，且在教学或理论分析中不够简洁。

例如：

• 根在 0
• 左孩子：2×0+1 = 1
• 右孩子：2×0+2 = 2
• 子节点 3 的父节点 = (3−1)//2 = 1

这在编程中是可行的（如 Python 的 heapq 模块就用下标 0），但在教材或算法推导中，从 1 开始能更直观体现完全二叉树与数组下标的数学对应关系。

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总结

特点	下标从 1 开始	下标从 0 开始
公式简洁性	⭐ 高（2i, 2i+1, i//2）	较低（2i+1, 2i+2, (i-1)//2）
教学友好性	强	一般
实际编程使用	少（需浪费 arr[0]）	多（节省空间）
数学规律性	易理解、易记忆	需额外推导

因此，在理论教学和图示表示中倾向于从下标 1 开始，以突出结构规律；而在实际编程实现中（如堆排序），常从 0 开始以充分利用数组空间。