机器数是计算机中用来表示数值的二进制形式

1. 机器数的基本概念
   机器数是计算机中用来表示数值的二进制形式。其特点包括：

• 使用二进制表示数据；
• 符号用最高位表示：0 表示正数，1 表示负数；
• 小数点为隐含表示（如定点整数或定点小数），不单独占用存储位。
  根据是否有符号位，可分为：
• 无符号数：仅表示非负整数（从 0 到 $2^n-1$）；
• 带符号数：最高位为符号位，其余位表示数值大小。

2. 原码编码规则
   原码是一种最直观的带符号数表示方法：

• 正数：符号位为 0，数值部分为绝对值的二进制表示；
• 负数：符号位为 1，数值部分仍为绝对值的二进制表示。

对于机器字长为 $n$ 的情况：

• 纯整数原码范围：$-(2^{n-1}-1)$ 到 $+(2^{n-1}-1)$
• 纯小数原码（假设小数点在符号位后）：数值 X 满足 $-1<X<1$，则：
  • 正数：$[X{]}_{\text{原}}=0.X_1{X}_2...X_{n-1}$
  • 负数：$[X{]}_{\text{原}}=1.X_1{X}_2...X_{n-1}$

特点：

• 简单直观，便于人理解；
• “0”有两种表示：
  • $[+0{]}_{\text{原}}=00000000$
  • $[-0{]}_{\text{原}}=10000000$（以8位为例）
• 运算复杂，需单独处理符号位和判断正负。

3. 反码编码规则
   反码是对原码的一种改进，主要用于简化运算逻辑（尤其是在补码出现前）。

• 正数：反码与原码相同；
• 负数：符号位不变（为1），数值位按位取反。

数学表达式（字长为 $n$）：

• 整数反码：
  • 正数：$[X{]}_{\text{反}}=X$
  • 负数：$[X{]}_{\text{反}}=2^n-1+X$ （其中 $X$ 为负整数）
• 小数反码：
  • 负数：$[X{]}_{\text{反}}=2-2^{-(n-1)}+X$

特点：

• 同样存在两种“0”的表示：
  • $[+0{]}_{\text{反}}=00000000$
  • $[-0{]}_{\text{反}}=11111111$
• 是原码向补码过渡的形式，在现代系统中已基本不用。

4. 应用场景

• 原码：用于理解符号数的基本概念，常用于教学场景；
• 反码：历史上曾用于某些早期计算机系统，现主要用于帮助理解补码的构造过程；
• 补码：当前几乎所有计算机系统都采用补码表示带符号整数，因为：
  • 统一了加减法运算（减法可转化为加法）；
  • “0”有唯一表示；
  • 可多表示一个负数（如8位补码范围为 -128 ~ +127）；
  • 硬件实现更高效。

# 示例：8位补码中 -1 的表示
def twos_complement(x, n=8):
    if x >= 0:
        return x
    else:
        return (1 << n) + x

print(bin(twos_complement(-1)))  # 输出: 0b11111111 (即 255)

补码通过统一模运算的数学结构，解决了原码和反码中“+0”与“−0”有两种不同编码的问题。

问题回顾：原码和反码中的“0的双重表示”

• 在 原码 中：
  • $[+0{]}_{\text{原}}=00000000$
  • $[-0{]}_{\text{原}}=10000000$（符号位为1，数值为0）
• 在 反码 中：
  • $[+0{]}_{\text{反}}=00000000$
  • $[-0{]}_{\text{反}}=11111111$（符号位为1，数值位全取反）

这导致系统需要额外判断两种“0”的情况，增加了硬件设计复杂性。

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补码如何解决这个问题？

在补码表示中，负数是通过对正数取反加一得到的，其本质是基于模（modular arithmetic）运算：

以8位机器为例：

• 总共有 $2^8=256$ 个不同的二进制组合；
• 补码将这些组合划分为：
  • 正数和0：0 ~ 127（即 00000000 到 01111111）
  • 负数：−128 ~ −1（即 10000000 到 11111111）

关键点：只有一个编码对应数值 0 —— 就是 00000000

数学原理：模 $2^n$ 运算

对于一个 n 位二进制数，补码实际上是该数对 $2^n$ 取模的结果。
例如，在8位系统中，任何运算都在 mod 256 下进行。

所以：

• $[-0{]}_{\text{补}}=(2^8+(-0))\mathrm{mod}256=0$
• 即无论正负零，补码都等于 00000000

因此，−0 的补码与 +0 完全相同，实现了“0”的唯一表示。

示例：求 −0 的补码（8位）

n = 8
zero = 0
negative_zero_complement = (1 << n) + (-zero)  # 256 + 0 = 256 → mod 256 = 0
print(bin(negative_zero_complement % (1 << n)))  # 输出: 0b0 → 即 00000000

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更进一步的优势

除了消除“0的双重表示”，补码还带来以下好处：

1. 简化运算器设计：减法可以转化为加法（如 $A-B=A+(-B{)}_{\text{补}}$）；
2. 无需单独处理符号位：符号位参与运算；
3. 范围更优：8位补码可表示 −128 到 +127，比原码多一个负数（−128）；

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✅ 结论：
补码通过模运算机制，使得 −0 和 +0 映射到同一个二进制编码 00000000，从而彻底解决了原码和反码中存在的“0的双重表示”问题，提高了运算效率和硬件实现的简洁性。