小波分析是一种信号处理方法，能够同时提供时域和频域的局部化信息，克服了传统傅里叶变换在非平稳信号分析中的局限性

小波分析是一种信号处理方法，能够同时提供时域和频域的局部化信息，克服了传统傅里叶变换在非平稳信号分析中的局限性。以下是关于小波分析基础的系统性介绍：

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1. 傅里叶变换的局限性

傅里叶变换（FT） 将信号从时域转换到频域，适用于平稳信号（频率成分不随时间变化）。其主要局限包括：

• 缺乏时间局部性：无法判断某个频率成分出现在哪个时间段。
• 对于突变、瞬态或非平稳信号（如语音、地震波），FT不能有效捕捉局部特征。

为解决该问题，引入了短时傅里叶变换（STFT） 和 连续小波变换（CWT）。

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2. 连续短时傅里叶变换（STFT）

定义：
对信号 $ x(t) $ 加一个滑动窗函数 $ g(t) $，进行加窗傅里叶变换：

$$\text{STFT}(\tau ,\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)g(t-\tau )e^{-j\omega t}dt$$

其中，$ \tau $ 是时间位移，$ \omega $ 是频率，$ g(t) $ 是窗函数（如高斯窗）。

特点：

• 在时间和频率上都有一定分辨率。
• 时间-频率分辨率固定（由窗宽决定）——这是其主要缺陷。
• 若窗窄：时间分辨率高，频率分辨率低。
• 若窗宽：频率分辨率高，时间分辨率低。

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3. 连续小波变换（CWT）

定义：
给定母小波 $ \psi(t) $，通过伸缩和平移生成子小波：

$${\psi }_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right),a\ne 0$$

CWT 定义为信号与子小波的内积：

$$W_x(a,b)=⟨x(t),{\psi }_{a,b}(t)⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\overline{{\psi }_{a,b}(t)}dt$$

其中：

• $ a $：尺度参数（scale），对应频率的倒数；
• $ b $：平移参数（translation），对应时间位置。

时频分析特点：

• 多分辨率分析（MRA）：小尺度 $ a $ 小 → 高频、高时间分辨率；
  大尺度 $ a $ 大 → 低频、高频率分辨率。
• 自适应窗口：高频用窄窗（精细时间定位），低频用宽窗（精细频率定位）。

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4. 测不准原理（不确定性原理）

在信号分析中，时间分辨率 $ \Delta t $ 与频率分辨率 $ \Delta f $ 满足：

$$\Delta t\cdot \Delta f\ge \frac{1}{4\pi }$$

这意味着时间和频率不能同时无限精确。STFT 的分辨率为矩形且固定；而 CWT 利用可变窗口，在不同频率下优化权衡，更符合测不准原理的最佳利用。

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5. CWT 的性质与反变换

性质：

• 线性
• 平移不变性（对 $ b $）
• 尺度协方差
• 能量守恒（若满足容许性条件）

容许性条件：

存在常数 $ C_\psi $：
$$C_{\psi }={\int }_0^{\infty }\frac{|\hat{\psi }(\omega ){|}^2}{\omega }d\omega <\infty \Rightarrow \hat{\psi }(0)=0\Rightarrow \int \psi (t)dt=0$$

即母小波必须均值为零（直流分量为零）。

反变换公式：

$$x(t)=\frac{1}{C_{\psi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_0^{\infty }{W}_x(a,b){\psi }_{a,b}(t)\frac{dadb}{a^2}$$

允许从 CWT 系数完全重构原信号。

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6. 母小波的消失矩（Vanishing Moments）

若母小波 $ \psi(t) $ 满足：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{t}^k\psi (t)dt=0,k=0,1,\dots ,N-1$$

则称其具有 $ N $ 阶消失矩。

意义：

• 具有 $ N $ 阶消失矩的小波能精确表示最高 $ N-1 $ 阶多项式信号。
• 更高的消失矩意味着更好的压缩能力和对奇异点的敏感性。
• 但可能导致支撑区间变长、计算复杂。

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7. 参数离散化 —— 离散小波变换（DWT）

将 CWT 中的尺度和平移参数离散化：

取 $ a = a_0^{-j},\ b = k b_0 a_0^{-j} $，通常选 $ a_0=2,\ b_0=1 $（二进离散）：

$${\psi }_{j,k}(t)=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k)$$

DWT 定义为：

$$d_{j,k}=⟨x(t),{\psi }_{j,k}(t)⟩$$

可用于高效信号分解与重构。

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8. 多分辨分析（Multiresolution Analysis, MRA）

MRA 是构造正交小波基的理论框架，包含以下要素：

• 一列闭子空间 $ {V_j} $，满足嵌套关系：$ V_j \subset V_{j+1} $
• 尺度函数 $ \phi(t) $：生成 $ V_0 $，进而生成各层近似空间
• 小波函数 $ \psi(t) $：生成细节空间 $ W_j = V_{j+1} \ominus V_j $

每一层将信号分解为“近似”和“细节”。

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9. DWT 的快速算法 —— Mallat 算法

基于滤波器组实现：

• 分解过程：低通 + 高通滤波 → 下采样
• 重构过程：上采样 → 低通 + 高通滤波 → 相加

使用共轭镜像滤波器（Quadrature Mirror Filters, QMF）保证无失真重建。

时间复杂度：$ O(N) $，远优于 FFT 的 $ O(N \log N) $（在某些应用中）。

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10. Daubechies 小波基实例

Daubechies 小波是由 Ingrid Daubechies 构造的一类紧支撑正交小波，记作 dbN，其中 $ N $ 表示阶数（也即消失矩数量）。

特点：

• 支撑长度为 $ 2N - 1 $
• 具有 $ N $ 阶消失矩
• 最大平坦性设计（在尺度函数中）
• 非对称，但具有良好的能量集中性

常用类型：

• db1（Haar 小波）：最简单，1 阶消失矩
• db4, db6,…, db10：广泛用于去噪、压缩、故障诊断等

例如，db4 的尺度函数和小波函数由迭代两尺度方程生成：

$$\varphi (t)=\sum _n{h}_0[n]\sqrt{2}\varphi (2t-n)$$

系数 $ h_0[n] $ 由正交性和消失矩条件求解得到。

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