线性分组码是一类重要的差错控制编码，其编码规则满足**线性性质**：任意两个合法码字的模2加仍是合法码字

2. 线性分组码（Linear Block Codes）

线性分组码是一类重要的差错控制编码，其编码规则满足线性性质：任意两个合法码字的模2加仍是合法码字。它具有良好的数学结构，便于分析、设计和实现。

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一、基本概念

概念	定义
信息码元	原始要传输的数据位，共 $ k $ 位，记为 $ \mathbf{u} = (u_1, u_2, …, u_k) $
监督码元（校验位）	编码过程中添加的冗余位，共 $ r = n - k $ 位，用于检错或纠错
码字	由信息位和监督位组成的完整编码序列，长度为 $ n $，即 $ \mathbf{c} = (c_1, c_2, …, c_n) $
误码图样（Error Pattern）	表示在传输中发生错误的位置，如 $ \mathbf{e} = (0,1,0,0,1) $ 表示第2和第5位出错
校正子（Syndrome）	接收端根据接收码计算的一个向量，用于判断是否有错及定位错误位置

✅ 接收码：$ \mathbf{r} = \mathbf{c} + \mathbf{e} $
校正子：$ \mathbf{s} = \mathbf{r} \cdot \mathbf{H}^T = (\mathbf{c} + \mathbf{e}) \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{e} \cdot \mathbf{H}^T $（因为 $ \mathbf{c}\cdot\mathbf{H}^T=0 $）
⇒ 校正子只与错误有关，与原始码字无关

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二、监督方程与监督矩阵

1. 监督方程

• 是一组线性方程，描述监督位如何由信息位生成
• 例如对于 (7,4) 汉明码：
  $$\{\begin{array}{l}{p}_1=d_1+d_2+d_4\\ p_2=d_1+d_3+d_4\\ p_3=d_2+d_3+d_4\end{array}$$
  其中 $ d_i $ 是信息位，$ p_j $ 是校验位

2. 监督矩阵 $ \mathbf{H} $

• 维度为 $ (n-k) \times n $，用于检测错误
• 满足：所有合法码字 $ \mathbf{c} $ 都满足 $ \mathbf{c} \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{0} $
• 若 $ \mathbf{r} \cdot \mathbf{H}^T \neq \mathbf{0} $，则说明有错

📌 示例：(7,4) 汉明码的监督矩阵为：
$$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

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三、生成方程与生成矩阵

1. 生成方程

• 描述如何从信息位 $ \mathbf{u} $ 得到整个码字 $ \mathbf{c} $
• $ \mathbf{c} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{G} $

2. 生成矩阵 $ \mathbf{G} $

• 维度为 $ k \times n $，若为系统码，则形式为：
  $$\mathbf{G}=[{\mathbf{I}}_k\mid \mathbf{P}]$$
  其中 $ \mathbf{I}_k $ 是单位阵，$ \mathbf{P} $ 是 $ k \times (n-k) $ 的校验子矩阵

📌 示例：(7,4) 汉明码的生成矩阵为：
$$\mathbf{G}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

✅ $ \mathbf{G} $ 和 $ \mathbf{H} $ 满足关系：$ \mathbf{G} \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{0} $

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四、汉明码的构造

汉明码是一种能纠正单个错误的线性分组码，记作 $ (n, k) $，其中：

• $ n = 2^m - 1 $
• $ k = 2^m - m - 1 $
• $ r = n - k = m $
• 最小距离 $ d_{\min} = 3 $ → 可纠1错

构造步骤：

1. 确定校验位数 $ m $，使得 $ 2^m \geq n+1 = k + m + 1 $
2. 将码字位置编号为 1 到 $ n $
3. 所有 $ 2^i $ 位置作为校验位（如第1、2、4、8…位）
4. 其余为信息位
5. 每个校验位负责其二进制表示中某一位为1的所有位置进行偶校验（或奇校验）

✅ 校正子 $ \mathbf{s} = \mathbf{r} \cdot \mathbf{H}^T $ 的值直接对应出错位的地址（即错误位置）

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五、循环码及其特点

循环码是线性分组码的一个重要子类，具有循环移位不变性。

特点：

• 任一码字左/右循环移位后仍是一个合法码字
• 可用多项式表示，便于硬件实现
• 包括 CRC、BCH、RS 等都属于循环码

1. 生成多项式 $ g(x) $

• 是一个次数为 $ r = n-k $ 的因式，整除 $ x^n - 1 $
• 所有码多项式 $ c(x) $ 都是 $ g(x) $ 的倍数

✅ 如 (7,4) 循环码可用 $ g(x) = x^3 + x + 1 $

2. 编码过程（系统形式）

1. 将信息多项式 $ u(x) $ 乘以 $ x^{n-k} $（相当于左移 $ r $ 位）
2. 计算余式 $ r(x) = [x^{n-k}u(x)] \mod g(x) $
3. 码多项式为：$ c(x) = x^{n-k}u(x) + r(x) $

3. 译码过程

1. 接收多项式 $ r(x) $
2. 计算伴随式 $ s(x) = r(x) \mod g(x) $
3. 若 $ s(x)=0 $，无错；否则查表或使用算法定位错误

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六、交织码（Interleaving Code）

用于对抗突发错误（burst error），将连续传输中的长串错误分散成多个独立的随机错误，以便原编码能有效纠正。

类型：

• 块交织器（Block Interleaver）
• 卷积交织器

工作原理：

• 发送端：将多个码字按列写入矩阵，再按行发送
• 接收端：按行接收，按列读取恢复原始顺序

✅ 即使出现一段连续错误，解交织后每个码字最多只错一位，可被汉明码等纠正

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七、循环冗余检验码（CRC 码）

CRC（Cyclic Redundancy Check） 是一种广泛应用的检错码，不属于纠错码，常用于数据链路层（如以太网、Wi-Fi）、存储系统等。

原理：

• 使用生成多项式 $ g(x) $ 进行模2除法
• 发送端附加 $ r $ 位校验码，使整体能被 $ g(x) $ 整除
• 接收端重新计算余数，若不为0则判错

常见标准多项式：

名称	多项式	应用场景
CRC-8	$ x^8 + x^2 + x + 1 $	蓝牙
CRC-16	$ x^{16} + x^{15} + x^2 + 1 $	USB、Modbus
CRC-32	$ x^{32} + … + 1 $	以太网、ZIP文件

✅ CRC 可检测：

• 所有单比特错
• 所有双比特错
• 奇数个错误
• 长度 ≤ $ r $ 的突发错误
• 大部分更长的突发错误

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