差错控制编码（Error Control Coding）是数字通信中提高传输可靠性的重要技术

差错控制编码（Error Control Coding）是数字通信中提高传输可靠性的重要技术，通过在原始信息中引入冗余比特，使接收端能够检测甚至纠正传输过程中发生的错误。

---

一、差错控制方式

根据编码和反馈机制的不同，主要有以下四种差错控制方式：

方式	名称	工作原理	特点
1	检错重传（ARQ） (Automatic Repeat reQuest)	发送端编码仅用于检错；接收端发现错误后请求重发	需反馈信道，时延大，但效率高
2	前向纠错（FEC） (Forward Error Correction)	编码具备纠错能力，接收端自动纠正一定数量的错误	无需重传，适合单向通信
3	混合纠错（HEC） (Hybrid Error Correction)	结合 FEC 和 ARQ：先尝试纠错，失败则请求重发	兼顾效率与可靠性
4	信息反馈（IF）	接收端将接收到的数据原样回传给发送端进行比对	简单但开销大，较少使用

✅ 实际系统如 Wi-Fi 使用 ARQ + FEC 混合机制。

---

二、检错和纠错的基本原理

1. 基本思想

• 在 $ k $ 位信息位后添加 $ r $ 位冗余位，构成一个长度为 $ n = k + r $ 的码字。
• 所有合法码字构成一个有限集合，非法组合表示出错。

2. 码距（Hamming Distance）

• 两个等长码字之间不同比特位的数量称为汉明距离。
• 一组码中任意两个合法码字之间的最小距离称为最小码距 $ d_{\min} $。

3. 码距与检错/纠错能力的关系

目标	所需最小码距 $ d_{\min} $	条件公式
检测 $ e $ 个错误	$ d_{\min} \geq e + 1 $	可识别最多 $ e $ 位错误
纠正 $ t $ 个错误	$ d_{\min} \geq 2t + 1 $	能自动纠正最多 $ t $ 位错误
同时检错 $ e $ 并纠错 $ t $	$ d_{\min} \geq e + t + 1 $ 且 $ e > t $	如 $ d_{\min}=5 $：可纠1错并检3错

📌 示例：若 $ d_{\min} = 3 $，则：

• 最多可检 2 个错误（$ e = d_{\min}-1 = 2 $）
• 或最多可纠 1 个错误（$ t = \lfloor (d_{\min}-1)/2 \rfloor = 1 $）

---

三、主要编码类型分类

1. 分组码（Block Code）

• 将信息分为固定长度的 $ k $ 位块，每个块独立编码成 $ n $ 位码字
• 记作 $ (n, k) $ 分组码
• 常见例子：汉明码 $ (7,4) $、BCH码、RS码（里德-所罗门码）
• 优点：结构清晰，易于分析和实现

2. 卷积码（Convolutional Code）

• 编码结果不仅取决于当前输入的信息位，还依赖于前若干个输入位（记忆性）
• 用 $ (n, k, K) $ 表示：每输入 $ k $ 位，输出 $ n $ 位，约束长度为 $ K $
• 常用于语音通信、卫星通信
• 解码常用维特比算法（Viterbi Algorithm）

3. 线性码 vs 非线性码

• 线性码：任意两个合法码字的模2加仍是合法码字
  • 包括：汉明码、BCH码、RS码、卷积码等
  • 易于数学分析，广泛使用
• 非线性码：不满足线性性质，设计复杂，应用较少

4. 系统码 vs 非系统码

• 系统码：编码后的码字中明确包含原始信息位，后跟校验位
  • 如：[信息位][校验位]
  • 便于解码和兼容性处理，实际系统多采用
• 非系统码：信息位被变换，不再直接出现在码字中
  • 安全性好，但解码复杂

---

四、典型编码举例对比

编码类型	参数	$ d_{\min} $	检错/纠错能力	应用场景
汉明码	(7,4)	3	纠1错	内存纠错、简单通信
BCH码	(63,51)	5	纠2错	卫星通信、光通信
RS码	(255,239)	17	纠8字节错	CD/DVD、深空通信
卷积码	(2,1,7)	~10（自由距离）	纠突发错误	GSM、GPS、4G/5G

---

五、总结

概念	核心要点
差错控制目标	提高通信可靠性，降低误码率
关键指标	最小码距 $ d_{\min} $ 决定纠错检错能力
分组码特点	固定长度、独立编码、结构规整
卷积码特点	有记忆、连续编码、适合维特比译码
线性码优势	数学工具丰富，易构造和译码
系统码优势	信息可见，便于解析和兼容

---

汉明距离（Hamming Distance） 是指两个等长码字之间在相同位置上不同比特的个数。它是衡量两个编码序列差异程度的基本度量，在差错控制编码中用于分析检错和纠错能力。

---

一、定义

汉明距离：对于两个长度相同的二进制序列（码字），它们的汉明距离等于对应位中不相同的位置数目。

记作：
$$d({\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2)$$
其中 $ \mathbf{c}_1 $ 和 $ \mathbf{c}_2 $ 是两个等长码字。

---

二、计算方法

步骤：

1. 将两个码字按位对齐；
2. 比较每一位是否相同；
3. 统计不同的位数，即为汉明距离。

示例：

设两个码字为：

• $ \mathbf{c}_1 = 10110 $
• $ \mathbf{c}_2 = 11100 $

逐位比较：

位序	1	2	3	4	5
c₁	1	0	1	1	0
c₂	1	1	1	0	0
是否相同	✓	✗	✓	✗	✓

不同位出现在第 2 位和第 4 位 → 共 2 处

所以：
$$d({\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2)=2$$

---

三、模2加法与异或运算（XOR）

汉明距离也可以通过模2加法（异或，XOR） 来快速计算：

$${\mathbf{c}}_1\oplus {\mathbf{c}}_2=(1\oplus 1)(0\oplus 1)(1\oplus 1)(1\oplus 0)(0\oplus 0)=01010$$

结果中有 两个 1，说明有两位不同 → 汉明距离 = 2

✅ 因此：汉明距离 = 异或结果中“1”的个数 = 汉明重量（Hamming Weight）

---

四、最小汉明距离（Minimum Hamming Distance）

在一个编码方案中，所有合法码字两两之间的汉明距离的最小值称为最小码距 $ d_{\min} $：

$$d_{\min }=\underset{{\mathbf{c}}_i\ne {\mathbf{c}}_j}{\min }d({\mathbf{c}}_i,{\mathbf{c}}_j)$$

这是决定该编码检错和纠错能力的关键参数：

目标	所需 $ d_{\min} $
检测 $ e $ 个错误	$ d_{\min} \geq e + 1 $
纠正 $ t $ 个错误	$ d_{\min} \geq 2t + 1 $

📌 例如：若 $ d_{\min} = 3 $，则可纠正 1 位错误或检测 2 位错误。

---

五、应用意义

应用场景	汉明距离的作用
差错检测	判断接收码是否为合法码字（若不在码集内，则出错）
差错纠正	找到与接收码汉明距离最近的合法码字（最近邻译码）
编码设计	设计具有足够 $ d_{\min} $ 的码以满足可靠性要求
生物信息学	比较DNA序列差异
计算机科学	哈希算法、容错系统中的相似性判断

---