树形结构是一种常见的数据结构，它是由n（n≥0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/blog_programb/article/details/148544781

树形结构的定义
- 树形结构是一种常见的数据结构，它是由n（n≥0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。在树形结构中，元素之间存在一对多的关系。这种关系可以形象地理解为一个结点（父结点）可以有多个子结点，但每个子结点只能有一个父结点。
二叉树
- 定义：二叉树是一种特殊的树形结构，每个结点最多有两个子树，即左子树和右子树。二叉树的特点是它的结构相对简单，但功能强大。
- 性质
  - 在二叉树的第i层上至多有2^(i - 1)个结点（i≥1）。例如在第1层（根结点所在层）最多有2^(1 - 1) = 1个结点，在第2层最多有2^(2 - 1) = 2个结点。
  - 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k≥1）。深度是指树中结点的最大层次。比如深度为3的二叉树最多有2^3 - 1 = 7个结点。
  - 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点（叶子结点）数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。这是因为每个度为2的结点都会产生两个分支，而这些分支最终会连接到叶子结点上，所以叶子结点的数量会比度为2的结点多一个。
- 应用
  - 在计算机科学中，二叉树常用于实现查找算法。例如二叉搜索树（BST），对于BST，左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值，右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。这种性质使得在查找一个特定值时，可以通过比较来快速定位，大大提高了查找效率。
  - 还用于表达式树，可以用来表示算术表达式，方便进行表达式的求值和转换等操作。
堆
- 定义：堆是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树是深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的顺序二叉树中编号从1至n的结点一一对应。堆可以分为最大堆和最小堆。在最大堆中，父结点的值总是大于或等于其子结点的值；在最小堆中，父结点的值总是小于或等于其子结点的值。
- 性质
  - 堆的结构是完全二叉树，这使得它可以用数组来紧凑地存储。例如，对于一个最大堆，数组中的第i个元素（假设数组下标从1开始）的左子结点是第2i个元素，右子结点是第2i + 1个元素，父结点是第i/2个元素（向下取整）。
  - 堆的高度（深度）是log2n（n是堆中元素的个数），这使得堆的操作（如插入和删除）可以在对数时间内完成。
- 应用
  - 堆主要用于实现优先队列。优先队列是一种特殊的队列，它在出队时总是先出优先级最高的元素。例如，在一个最大堆实现的优先队列中，每次出队操作都是取出堆顶元素（最大值），然后调整堆结构以保持堆的性质。在操作系统中，进程调度就可以使用优先队列来根据进程的优先级进行调度。
  - 堆排序算法也是基于堆的性质实现的。它通过构建最大堆，然后不断取出堆顶元素并调整堆，从而实现对一个数组的排序。

树形结构概述

树形结构是一种非线性数据结构，其元素之间具有 层次化的一对多关系，形如倒置的树。它由一个根节点和若干子树构成，每个子树本身也是一个树形结构，具有递归特性。

常见树形结构类型

以下是两种典型的树形结构及其特点：

1. 二叉树（Binary Tree）

定义：每个节点最多有两个子节点（左子节点和右子节点）的树结构。
特点：

满二叉树：除最后一层外，所有层的节点均有两个子节点，且最后一层节点填满。
完全二叉树：除最后一层外，其他层节点数满，且最后一层节点从左到右连续排列。
平衡二叉树（如AVL树、红黑树）：通过旋转等操作保持左右子树高度差不超过1，确保高效查找。
应用场景：
- 二叉搜索树（BST）：用于快速查找、插入和删除（如字典、符号表）。
- 霍夫曼树：用于数据压缩（霍夫曼编码）。
- 表达式树：解析数学表达式。

示例结构：

      根节点  
     /    \  
   左子树  右子树  
   /  \  
 子节点 子节点

2. 堆（Heap）

定义：一种特殊的完全二叉树，满足堆性质：

大顶堆：每个节点的值大于或等于其子节点的值（根节点为最大值）。
小顶堆：每个节点的值小于或等于其子节点的值（根节点为最小值）。
特点：
无需显式存储父节点指针，可通过数组下标计算父子节点位置（下标从0开始时，父节点为 (i-1)/2，左子节点为 2i+1，右子节点为 2i+2）。
插入和删除操作时间复杂度均为 O(log n)。
应用场景：
优先队列（如任务调度、事件处理）。
堆排序：利用堆的性质实现排序算法（时间复杂度O(n log n)）。
求前K大/小元素：通过维护小顶堆或大顶堆高效筛选。

示例结构（大顶堆）：

        10  
      /    \  
     8      7  
   /  \    / \  
  5   3  6   2

树形结构的核心特性

层次关系：节点分为不同层级，根节点为第0层（或第1层），子节点层级递增。
父子关系：每个节点（除根节点外）有且仅有一个父节点，可拥有多个子节点。
递归性：子树本身也是树形结构，便于递归算法实现（如遍历、查找）。
无环性：节点之间不存在环路，保证结构的有效性。

树形结构的常见操作

遍历：
- 前序遍历（根→左→右）
- 中序遍历（左→根→右，仅适用于二叉树）
- 后序遍历（左→右→根）
- 层序遍历（按层级从上到下、从左到右）
查找：在树中搜索特定值的节点。
插入/删除：在合适位置添加或移除节点，可能需要调整树结构（如平衡二叉树的旋转）。

树形结构的应用场景

文件系统：目录和文件的层级结构（如Windows文件夹、Linux文件系统）。
HTML/XML文档：标签的嵌套结构（DOM树）。
编译原理：语法树、抽象语法树（AST）。
社交网络：用户关注关系、组织结构图。
机器学习：决策树、随机森林等算法模型。

通过树形结构，可高效处理具有层次化关系的数据，在计算机科学和实际应用中具有广泛价值。
在这里插入图片描述