背包问题（Knapsack Problem）是组合优化中的经典问题，核心目标是在有限容量的背包中选择物品，使总价值最大化-优快云博客

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背包问题（Knapsack Problem）是组合优化中的经典问题，核心目标是在有限容量的背包中选择物品，使总价值最大化，同时不超过重量限制。根据物品是否可分割，主要分为以下三类：

特点：每个物品只能选或不选（0或1），不可分割。
数学模型：

物品集合：( n ) 个物品，每个物品 ( i ) 有重量 ( w_i ) 和价值 ( v_i )。
背包容量：( W )。
目标：最大化总价值 ( \sum_{i=1}^n v_i x_i )，满足 ( \sum_{i=1}^n w_i x_i \leq W )，其中 ( x_i \in {0,1} )。

动态规划（DP）
- 状态定义：( dp[i][j] ) 表示前 ( i ) 个物品中选，容量为 ( j ) 时的最大价值。
- 转移方程：
  [
  dp[i][j] = \begin{cases}
  dp[i-1][j] & \text{（不选第 } i \text{ 个物品）} \
  \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i) & \text{（选第 } i \text{ 个物品，需 } j \geq w_i \text{）}
  \end{cases}
  ]
- 优化空间：可压缩为一维数组 ( dp[j] )，逆序更新（避免重复选同一物品）。
回溯法（暴力枚举）
- 递归遍历所有可能的选法，剪枝排除超过容量的情况。适用于 ( n ) 较小的场景（如 ( n \leq 20 )）。
分支限界法
- 通过优先队列（如最大价值优先）搜索可行解，利用上界剪枝提高效率。

特点：每个物品可无限选取（数量不限）。
数学模型：与0-1背包类似，但 ( x_i ) 为非负整数（可重复选）。

动态规划
- 状态定义：同0-1背包，但转移方程允许重复选同一物品。
- 转移方程：
  [
  dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-w_i] + v_i) \quad \text{（选第 } i \text{ 个物品多次，需 } j \geq w_i \text{）}
  ]
- 优化空间：一维数组 ( dp[j] )，顺序更新（允许重复选当前物品）。
数学优化
- 对于每个物品，计算单位重量价值 ( v_i/w_i )，优先选性价比高的物品（但需注意可能无法整除容量，需结合余数调整）。

特点：每个物品有固定数量限制 ( c_i )，即最多选 ( c_i ) 个。
数学模型：( x_i \leq c_i )，其余同完全背包。

动态规划（直接法）
- 状态定义：同前，转移方程需枚举选 ( k ) 个物品 ( i )（( 0 \leq k \leq c_i )），但时间复杂度较高（( O(nW\sum c_i) )）。
二进制优化
- 将每个物品拆分为 ( \log_2 c_i ) 个“新物品”（如数量 ( c_i = 5 ) 拆分为 ( 1, 2, 2 )），转化为0-1背包问题，降低时间复杂度至 ( O(nW \log c_i) )。
单调队列优化
- 通过滑动窗口优化转移过程，时间复杂度 ( O(nW) )，适用于大数据量。

二维背包问题
- 增加另一个限制条件（如体积、价格等），状态变为 ( dp[i][j][k] )，复杂度更高。
分组背包问题
- 物品分为若干组，每组中只能选一个物品，求最大价值。
背包问题的变形
- 硬币问题：求凑出目标金额的最少/最多硬币数（完全背包变种）。
- 子集和问题：判断是否存在子集和为目标值（0-1背包的可行性问题）。

类型	物品是否可分割	解法核心	时间复杂度
0-1背包	不可分割	动态规划（一维优化）、回溯	( O(nW) )
完全背包	可无限分割	动态规划（顺序更新）	( O(nW) )
多重背包	数量有限	二进制拆分、单调队列优化	( O(nW \log c) )

背包问题的解法需根据具体限制条件选择，动态规划是最常用的通用方法，而优化技巧（如空间压缩、二进制拆分）可显著提升效率。

特点：每个物品只能选或不选（0或1），不可分割。
数学模型：

物品集合：( n ) 个物品，每个物品 ( i ) 有重量 ( w_i ) 和价值 ( v_i )。
背包容量：( W )。
目标：最大化总价值 ( \sum_{i=1}^n v_i x_i )，满足 ( \sum_{i=1}^n w_i x_i \leq W )，其中 ( x_i \in {0,1} )。

动态规划（DP）
- 状态定义：( dp[i][j] ) 表示前 ( i ) 个物品中选，容量为 ( j ) 时的最大价值。
- 转移方程：
  [
  dp[i][j] = \begin{cases}
  dp[i-1][j] & \text{（不选第 } i \text{ 个物品）} \
  \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i) & \text{（选第 } i \text{ 个物品，需 } j \geq w_i \text{）}
  \end{cases}
  ]
- 优化空间：可压缩为一维数组 ( dp[j] )，逆序更新（避免重复选同一物品）。
回溯法（暴力枚举）
- 递归遍历所有可能的选法，剪枝排除超过容量的情况。适用于 ( n ) 较小的场景（如 ( n \leq 20 )）。
分支限界法
- 通过优先队列（如最大价值优先）搜索可行解，利用上界剪枝提高效率。

特点：每个物品可无限选取（数量不限）。
数学模型：与0-1背包类似，但 ( x_i ) 为非负整数（可重复选）。

动态规划
- 状态定义：同0-1背包，但转移方程允许重复选同一物品。
- 转移方程：
  [
  dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-w_i] + v_i) \quad \text{（选第 } i \text{ 个物品多次，需 } j \geq w_i \text{）}
  ]
- 优化空间：一维数组 ( dp[j] )，顺序更新（允许重复选当前物品）。
数学优化
- 对于每个物品，计算单位重量价值 ( v_i/w_i )，优先选性价比高的物品（但需注意可能无法整除容量，需结合余数调整）。

特点：每个物品有固定数量限制 ( c_i )，即最多选 ( c_i ) 个。
数学模型：( x_i \leq c_i )，其余同完全背包。

动态规划（直接法）
- 状态定义：同前，转移方程需枚举选 ( k ) 个物品 ( i )（( 0 \leq k \leq c_i )），但时间复杂度较高（( O(nW\sum c_i) )）。
二进制优化
- 将每个物品拆分为 ( \log_2 c_i ) 个“新物品”（如数量 ( c_i = 5 ) 拆分为 ( 1, 2, 2 )），转化为0-1背包问题，降低时间复杂度至 ( O(nW \log c_i) )。
单调队列优化
- 通过滑动窗口优化转移过程，时间复杂度 ( O(nW) )，适用于大数据量。

二维背包问题
- 增加另一个限制条件（如体积、价格等），状态变为 ( dp[i][j][k] )，复杂度更高。
分组背包问题
- 物品分为若干组，每组中只能选一个物品，求最大价值。
背包问题的变形
- 硬币问题：求凑出目标金额的最少/最多硬币数（完全背包变种）。
- 子集和问题：判断是否存在子集和为目标值（0-1背包的可行性问题）。

类型	物品是否可分割	解法核心	时间复杂度
0-1背包	不可分割	动态规划（一维优化）、回溯	( O(nW) )
完全背包	可无限分割	动态规划（顺序更新）	( O(nW) )
多重背包	数量有限	二进制拆分、单调队列优化	( O(nW \log c) )