堆排序的时间复杂度为$O(nlgn)$，且它可以在原数据上进行排序，空间复杂度为$O(1)$，满足题目要求

问题分析

题目要求我们选择满足特定条件的排序算法。我们需要考虑两个方面：

1. 时间复杂度为 ( O(n \log n) ) 且稳定的排序算法。
2. 时间复杂度为 ( O(n \log n) ) 且空间复杂度为 ( O(1) ) 的排序算法。

排序算法特性

• 直接插入排序：

  • 时间复杂度：( O(n^2) )（平均和最坏情况），( O(n) )（最好情况）。
  • 空间复杂度：( O(1) )。
  • 稳定性：稳定。

• 堆排序：

  • 时间复杂度：( O(n \log n) )。
  • 空间复杂度：( O(1) )。
  • 稳定性：不稳定。

• 快速排序：

  • 时间复杂度：( O(n \log n) )（平均情况），( O(n^2) )（最坏情况）。
  • 空间复杂度：( O(\log n) )（平均情况），( O(n) )（最坏情况）。
  • 稳定性：不稳定。

• 归并排序：

  • 时间复杂度：( O(n \log n) )。
  • 空间复杂度：( O(n) )。
  • 稳定性：稳定。

选项分析

1. (62) 时间复杂度为 ( O(n \log n) ) 且稳定的排序算法：

   • A. 直接插入排序：时间复杂度不满足 ( O(n \log n) )。
   • B. 堆排序：稳定性不满足。
   • C. 快速排序：稳定性不满足。
   • D. 归并排序：满足时间复杂度和稳定性要求。

   因此，(62) 的答案是 D. 归并排序。

2. (63) 时间复杂度为 ( O(n \log n) ) 且空间复杂度为 ( O(1) ) 的排序算法：

   • A. 直接插入排序：时间复杂度不满足 ( O(n \log n) )。
   • B. 堆排序：满足时间复杂度和空间复杂度要求。
   • C. 快速排序：空间复杂度不满足 ( O(1) )。
   • D. 归并排序：空间复杂度不满足 ( O(1) )。

   因此，(63) 的答案是 B. 堆排序。

答案

• (62) D. 归并排序
• (63) B. 堆排序
• 对一组数据进行排序，要求排序算法的时间复杂度为 O(nlgn)，且要求排序是稳定的，则可采用 ( 62 ) 算法。若要求排序算法的时间复杂度为 O(nlgn)，且在原数据上进行，即空间复杂度为 O(1)，则可采用 ( 63 ) 算法。
  A.直接插入排序 B.堆排序
  C.快速排序 D.归并排序
  A.直接插入排序 B.堆排序
  C.快速排序 D.归并排序
  答案依次为：D、B。

以下是具体分析：

• （62）答案为D
  • 直接插入排序的时间复杂度为$O(n^2)$，不符合时间复杂度为$O(nlgn)$的要求，所以A选项错误。
  • 堆排序的时间复杂度为$O(nlgn)$，但它是不稳定的排序算法，不符合稳定排序的要求，所以B选项错误。
  • 快速排序的平均时间复杂度为$O(nlgn)$，但它也是不稳定的排序算法，且最坏情况下时间复杂度会退化为$O(n^2)$，所以C选项错误。
  • 归并排序的时间复杂度为$O(nlgn)$，并且是稳定的排序算法，满足题目要求，所以D选项正确。
• （63）答案为B
  • 直接插入排序的时间复杂度为$O(n^2)$，不符合时间复杂度为$O(nlgn)$的要求，所以A选项错误。
  • 堆排序的时间复杂度为$O(nlgn)$，且它可以在原数据上进行排序，空间复杂度为$O(1)$，满足题目要求，所以B选项正确。
  • 快速排序虽然平均时间复杂度为$O(nlgn)$，但它需要额外的栈空间来进行递归操作，空间复杂度通常不是$O(1)$，所以C选项错误。
  • 归并排序的时间复杂度为$O(nlgn)$，但它在合并过程中需要额外的辅助空间，空间复杂度为$O(n)$，不满足空间复杂度为$O(1)$的要求，所以D选项错误。
  • 除了前面提到的堆排序和归并排序，时间复杂度为 $O(nlgn)$ 的排序算法还有以下几种：
• 希尔排序
  • 基本思想：先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行依次直接插入排序。
  • 时间复杂度分析：希尔排序的时间复杂度与增量序列的选取有关。在最坏情况下，希尔排序的时间复杂度为 $O(n^2)$，但在平均情况下，其时间复杂度约为 $O(n^{1.3})$ 到 $O(nlgn)$ 之间。当增量序列选取比较合理时，希尔排序的时间复杂度可以接近 $O(nlgn)$。
• 多路归并排序
  • 基本思想：将初始序列分成多个子序列，每个子序列都是有序的，然后将这些有序子序列两两合并，直到最终得到一个有序序列。与二路归并排序不同的是，多路归并排序在合并阶段可以同时对多个有序子序列进行合并。
  • 时间复杂度分析：假设初始序列有 $n$ 个元素，将其分成 $k$ 个子序列，每次合并 $k$ 个有序子序列。合并操作的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{k}n)$，当 $k$ 为常数时，时间复杂度为 $O(nlgn)$。
• 基数排序
  • 基本思想：将所有待排序的元素按照每个位上的数字进行排序，从最低位到最高位依次进行。对于每一位，使用桶排序或其他稳定的排序算法对元素进行排序，最终得到有序序列。
  • 时间复杂度分析：如果待排序元素的位数为 $d$，基数为 $r$（例如，对于十进制数，$r=10$），那么基数排序的时间复杂度为 $O(d(n+r))$。当 $d$ 为常数，$r$ 与 $n$ 无关时，基数排序的时间复杂度为 $O(n)$。在一些特殊情况下，例如对整数进行排序，且整数的位数与 $n$ 有一定关系时，时间复杂度可能会接近 $O(nlgn)$。

需要注意的是，这些算法在不同的场景下有各自的优缺点，实际应用中需要根据具体情况选择合适的排序算法。