小根堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都小于或等于其子节点的值

以下是对小根堆的详细说明和总结：

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1. 小根堆的定义

• 小根堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
• 这意味着根节点的值是堆中的最小值。

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2. 小根堆的性质

• 完全二叉树：小根堆必须是一棵完全二叉树，即除了最后一层，其他层都是满的，且最后一层的节点尽可能靠左排列。
• 堆序性质：对于任意节点 (i)，其值 (val(i)) 满足：
  • (val(i) \leq val(2i))（左子节点）。
  • (val(i) \leq val(2i+1))（右子节点）。

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3. 小根堆的存储

• 小根堆通常用数组存储，数组的下标从 1 开始（或从 0 开始，具体实现可能不同）。
• 对于节点 (i)：
  • 左子节点的下标为 (2i)。
  • 右子节点的下标为 (2i+1)。
  • 父节点的下标为 (\lfloor i/2 \rfloor)。

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4. 小根堆的操作

• 插入：将新元素插入堆的末尾，然后向上调整（Heapify Up）以维护堆序性质。
• 删除最小值：移除根节点，将最后一个节点移到根位置，然后向下调整（Heapify Down）以维护堆序性质。
• 构建堆：从最后一个非叶子节点开始，依次向下调整，将无序数组构建为小根堆。

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5. 小根堆的应用

• 优先队列：小根堆常用于实现优先队列，支持快速获取最小值。
• 堆排序：通过构建小根堆，可以实现堆排序算法。
• Dijkstra算法：在图的最短路径算法中，小根堆用于快速找到当前最小距离的节点。

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6. 示例

给定数组 [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]，构建小根堆的过程如下：

• 初始完全二叉树：

      3
     / \
    1   4
   / \ / \
  1 5 9 2
  

/

6
```

• 调整后的小根堆：

      1
     / \
    1   2
   / \ / \
  3 5 9 4
  

/

6
```

• 用数组表示为：[1, 1, 2, 3, 5, 9, 4, 6]。

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总结

小根堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

要使用堆排序的筛选方法建立初始小根堆，我们需要按照以下步骤操作：

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1. 理解小根堆

• 小根堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
• 堆排序的筛选方法是从最后一个非叶子节点开始，逐步调整堆结构，使其满足小根堆的性质。

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2. 给定数据

数据序列为：15, 9, 7, 8, 20, -1, 7, 4。

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3. 构建完全二叉树

将数据按顺序填充到完全二叉树中：

      15
     /  \
    9    7
   / \  / \
  8 20 -1 7
 /
4

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4. 筛选过程

从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整堆结构。

• 步骤1：调整节点 8（索引 3）。
  • 比较 8 和其子节点 4，8 > 4，交换。

      15
     /  \
    9    7
   / \  / \
  4 20 -1 7
  

/

8
```

• 步骤2：调整节点 7（索引 2）。
  • 比较 7 和其子节点 -1 和 7，7 > -1，交换。

      15
     /  \
    9    -1
   / \  / \
  4 20 7  7
  

/

8
```

• 步骤3：调整节点 9（索引 1）。
  • 比较 9 和其子节点 4 和 20，9 > 4，交换。

      15
     /  \
    4    -1
   / \  / \
  9 20 7  7
  

/

8
```

• 步骤4：调整节点 15（索引 0）。
  • 比较 15 和其子节点 4 和 -1，15 > -1，交换。

      -1
     /  \
    4    15
   / \  / \
  9 20 7  7
  

/

8
- 交换后，`15` 需要继续向下调整。 - 比较 `15` 和其子节点 `7` 和 `7`，`15 > 7`，交换。
-1
/
4 7
/ \ /
9 20 15 7
/
8
```

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5. 最终小根堆

调整后的完全二叉树满足小根堆的性质：

      -1
     /  \
    4    7
   / \  / \
  9 20 15 7
 /
8

用数组表示为：-1, 4, 7, 9, 20, 15, 7, 8。

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答案

初始小根堆为：-1, 4, 7, 9, 20, 15, 7, 8。