数字信号处理笔记

-离散傅里叶变换的性质

• 公式一：
  $X(e^{jw})={\sum }_{r=-\infty }^{r=+\infty }2\pi \delta (w-w_0+2\pi r)\stackrel{{\mathcal{F}}^{-1}}{\to }{\sum }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j{w}_{0}n}$
  ${\sum }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j{w}_{0}n}\stackrel{\mathcal{F}}{\to }{\sum }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j{w}_{0}n}{e}^{-jwn}={\sum }_{r=-\infty }^{r=+\infty }2\pi \delta (w-w_0+2\pi r)$
  ${\sum }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j{w}_{0}n}\stackrel{\mathcal{F}}{\to }{\sum }_{r=-\infty }^{r=+\infty }2\pi \delta (w-w_0+2\pi r)$
  $1\stackrel{\mathcal{F}}{\to }{\sum }_{r=-\infty }^{r=+\infty }2\pi \delta (w+2\pi r)$
  $x[n]={\sum }_k{a}_k{e}^{j{w}_{c}n}-\infty <n<+\infty$
  $x[n]\stackrel{\mathcal{F}}{\to }{\sum }_{-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{j{w}_{c}n}{e}^{-jwn}={\sum }_{-\infty }^{+\infty }{\sum }_{k}2\pi a_k\delta (w-w_c+2\pi r)$
  既不平方可加也不平方可和的单位阶跃序列u(n)的傅里叶变换
  $U(e^{jw})=\frac{1}{1-e^{-jw}}+{\sum }_{r=-\infty }^{r=+\infty }\pi \delta (w+2\pi r)$
  傅里叶变换的性质
  |序列|傅里叶变换|
  |:-?:-?
  |$x[n],y[n]$|$X(e^{jw}),Y(e^{jw})$|
  |$x[n-n_d](n_d为整数)$|$X(e^{jw})e^{-jw{n}_d}$|
  |$e^{j{w}_{0}n}x[n]$|$X(e^{j(w-w_0)})$|
  |$x[-n]$|$X(e^{-jw})$|
  |$nx[n]$|$j\frac{X(e^{jw})}{dw}$|
  |$x[n]\ast y[n]$|$X(e^{jw})Y(e^{jw})$|
  |$x[n]y[n]$|$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(e^{j\theta })Y(e^{j(w-\theta )})d\theta$|
  |$u[n]$|$\frac{1}{1-e^{-jw}}+{\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\pi \delta (w+2\pi k)$|
  |$(n+1)a^{n}u[n](|a|<1)$|$\frac{1}{(1-a{e}^{-jw}{)}^2}$|
  |$\frac{r^{n}sin(w_p(n+1))u[n]}{sin{w}_p}(|r|<1)$|$\frac{1}{(1-a{e}^{-jw}{)}^2}$|
  |$\frac{sin(w_{c}n)}{\pi n}$|$X(e^{jw})=1,|w|<w_c$|
  |$x[n]=1,0\le n\le M$|$\frac{\frac{sin[w(M+1)]}{2}}{\frac{sinw}{2}}{e}^{\frac{-jwM}{2}}$|
  |$cos(w_{o}n+\theta )$|${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\pi e^{k\theta }\delta (w-w_0+2\pi k)+\pi e^{-j\theta }\delta (w-w_0+2\pi k)$|
  |$e^{j{w}_{0}n}$|${\sum }_{k=-\infty }^{k=+\infty }2\pi \delta (w-w_0+2\pi k)$|
  |$帕斯瓦尔定理{\sum }_{-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2$|$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{jw}){|}^{2}dw$|
  |$帕斯瓦尔定理{\sum }_{-\infty }^{+\infty }x[n]y^{\ast }[n]$|$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{(}jw))Y^{\ast }(e^{jw})dw$|
  输入和输出的互相关是单位脉冲响应与输入自相关序列的卷积
  ϕyx[m]=ε{x[n]y[n+m]}\phi_{yx}[m]=\varepsilon\{x[n]y[n+m]\}ϕyx​[m]=ε{x[n]y[n+m]}=ε{x[n]∑k=−∞k=+∞h[k]x[n+m−k]}=∑k=−∞+∞h[k]ϕxx[m−k]=\varepsilon\{x[n]\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}h[k]x[n+m-k]\}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]\phi_{xx}[m-k]=ε{x[n]k=−∞∑k=+∞​h[k]x[n+m−k]}=k=−∞∑+∞​h[k]ϕxx​[m−k]
  当输入为白噪声时$${\varphi }_{xx}[m]={\sigma }_x^{2}h[m]$$也就是说，对于一个零均值的报噪声输入，一个线性系统输入和输出之间的互相关正比于该系统的单位脉冲响应。类似的，白噪声输入的功率谱为$${\Phi }_{xx}(e^{jw})={\sigma }_x^2-\pi \le w\le \pi$$$${\Phi }_{yx}(e^{jw})={\sigma }_x^{2}H(e^{jw})$$也就是说，在这种强狂下互功率谱正比于该系统的频率响应。如果能观察到一个输入为白噪声时系统的输出，那么就可以根据上式估计一个线性时不变系统的单位脉冲响应或频率响应的基础。
  理想采样的频谱：
  $f_s(t)={\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-n{T}_s)=f(t){\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s）$其中${\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s）$是周期为$T_s$的周期函数。
  ${\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)\stackrel{傅里叶级数}{\to }{\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{w}_{s}t}$
  $F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-jnwt}dt=\frac{1}{T}$
  由傅里叶变换的性质
  $F(w-w_0)\stackrel{ifourier}{\to }\frac{1}{2\pi }{\int }_{w=-\infty }^{\infty }F(w-w_0)e^{jwt}dw=F(w-w_0)\stackrel{ifourier}{\to }\frac{1}{2\pi }{\int }_{w=-\infty }^{\infty }F(w-w_0)e^{j(w-w_0)t}{e}^{-j{w}_{0}t}dw\to f(t)e^{-j{w}_{0}t}$
  ${\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{jn{w}_{s}t}\stackrel{\mathcal{F}}{\to }{\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }2\pi \delta (w-n{w}_s)$
  $f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\to }F(w)$
  $f(t)\cdot {\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{jn{w}_{s}t}\stackrel{\mathcal{F}}{\to }\frac{1}{2\pi }F(w)\ast {\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }2\pi \delta (w-n{w}_s)\frac{1}{T}=\frac{1}{T}{\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }F(w-w_s)$
  采样信号$f_s(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\to }\frac{1}{T}{\Sigma }_{n=-\infty }^{\infty }F(w-w_s)$