普通高中课程标准实验教科书(必修)数学1_学习笔记

1、集合

1.1、定义

研究对象被统称为元素(element),元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).

集合中的元素必须是确定的,且互不相同.如果构成两个集合的元素一样,则称两个集合相等.

一般用大写拉丁字母 A,B,C,D,… 表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,d,… 表示集合中的元素.

如果 a 是集合 A 的元素,即 a 属于(belong to)集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 中的元素,即 a 不属于(not belong to)集合 A,记作 a∉A.

1.2、数学中一些常用的数集及其记法

由数组成的集合叫做数集.

• N:全体非负整数组成集合称为非负整数集(或自然数集);
• N^*或者N₊:所有正整数组成的集合称为正整数集;
• Z:全体整数组成的集合称为整数集;
• Q:全体有理数组成的集合称为有理数集;
• R:全体实数组成的集合称为实数集;

以上是用自然语言描述一个集合,还可以用列举法表示集合,把集合的元素写在大括号 {}中即可.例如:"地球上的四大洋"组成的集合表示为{太平洋,印度洋,大西洋,北冰洋}.还可以用描述法表示集合,例如所有奇数组成的集合可以表示为E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.

• 列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号{}括起来;
• 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法;

1.3、集合间的基本关系

对于两个集合 A 和 B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 为集合 B 的子集(subset),记作 A⊆B(或B⊇A),读作"A 包含于 B"(或"B 包含 A"),其中⊆是子集符号,⊇是父集符号.

用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图.

如果集合 A 是 集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,即集合 A 和集合 B 中的元素完全一样,则集合 A 与集合 B 相等,记作: A=B.

如果集合 A⊆B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset),记作 A⫋B(或者 B⫌A),高中数学课本用此符号.有的地方也记作 A⊂B(或者 B⊃A),也有的地方记作 A⊊B(或者 B⊋A).

不包含任何元素的集合叫空集,记作∅,空集是任何集合的子集.

1.4、集合的基本运算

若集合 C 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 C 是集合 A 与 B 的并集(union set),记作 C=A∪B(读作"A 并 B"),即 C=A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.

若集合 C 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,则称 C 是 A 与 B 的交集(intersection set),记作 C=A∩B(读作 “A 交 B”),即C=A∩B={x|x∈A,且 A 属于 B}.

如果一个集合含有所研究问题中所涉及的所有元素,这个集合称为全集(universe set),记作大写的 U.

对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集,记作 ∁_UA,即 ∁_UA={x|x∈U,且 x∉A}.在其他地方也有的记作 U\A 或 B-A.

1.5、集合中元素的个数

含有有限个元素的集合 A 叫作有限集,用 card 来表示有限集合 A 中元素的个数.例如 A={a,b,c},则 card(A)=3.
相关公式有:

• card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
• card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)

2、函数

2.1、函数的概念

设 A,B 是非空数集,按照某种确定的对应关系 ƒ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 ƒ(x) 和它对应,那么就称 ƒ:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function),记作: y=ƒ(x),x∈A.其中 x 叫自变量,x的取值范围 A 叫函数的定义域(domain);y 叫函数值,函数值的集合{ƒ(x)|x∈A}叫函数的值域(range ).

如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.

2.1.1、区间

设 a,b 是两个实数,而且 a<b,则有:

• (1) 满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫闭区间,表示为 [a,b];
• (2) 满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫开区间,表示为 (a,b);
• (3) 满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫半开半闭区间,分别表示为 [a,b),(a,b];

这里的实数 a 和 b 都叫相应区间的端点.

用区间表示举例:

• 实数R:(-∞,+∞);
• x≥a:[a,+∞);
• x>a:(a,+∞);
• x≤b:(-∞,b];
• x<b:(-∞,b);

2.2、函数的表示法

初中接触过的三种函数表示方法:解析法,图像法列表法.

• 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;
• 图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系;
• 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系;

2.3、映射

设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 ƒ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 ƒ:A→B 为集合 A到集合 B 的一个映射(mapping).

2.4、函数的基本性质

2.4.1、单调性

如果对于定义域 I 内某区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁,x₂, 当 x₁<x₂时,都有 ƒ(x₁)<ƒ(x₂),那么就说函数 ƒ(x) 在区间 D 上是增函数(increasing function);

如果对于定义域 I 内某区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁,x₂, 当 x₁<x₂时,都有 ƒ(x₁)>ƒ(x₂),那么就说函数 ƒ(x) 在区间 D 上是减函数(decreasing function);

如果函数 y=ƒ(x) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=ƒ(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=ƒ(x) 的单调区间.

2.4.2、函数的最大值和最小值

当一个函数 y=ƒ(x) 的图像上有最低点时,则函数 y=ƒ(x) 有最小值.
当一个函数 y=ƒ(x) 的图像上有最高点时,则函数 y=ƒ(x) 有最大值.

设函数 y=ƒ(x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:

• (1)对于任意的 x∈I,都有 ƒ(x)≤M;
• (2)存在 x₀∈I,使得 ƒ(x₀)=M;

那么,称 M 是函数 y=ƒ(x) 的最大值(maximum value).

对于二次函数 ƒ(x)=ax²+bx+c,它的最值(最大值,最小值)求法如下:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^2+bx+c\\ & \\ & =a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\ & \\ & =a[(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]\\ & \\ & =a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{array}$$

可以看出:

• 当 a 是正数时,$f(x)$有最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$,此时$x=-\frac{b}{2a}$;
• 当 a 是负数时,$f(x)$有最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$,此时$x=-\frac{b}{2a}$;

2.4.3、奇偶性

如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个x,都有$f(-x)=f(x)$,那么函数$f(x)$就叫做偶函数(even function);
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个x,都有$f(-x)=-f(x)$,那么函数$f(x)$就叫做奇函数(odd function);

3、基本初等函数(1)

基本初等函数有 指数函数,对数函数,幂函数

3.1、指数函数

如果 $x^n=a$ ,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n th root),其中 n>1,且 $n\in N^{\ast }$.式子$\sqrt[n]{a}$叫根式(radical),n 叫根指数(radical exponent),a 叫被开方数(radicand).

• 当 n 是奇数时,$\sqrt[n]{a^n}=a$;
• 当 n 是偶数时,$\sqrt[n]{a^n}=|a|=\{\begin{array}{l}a,a\ge 0,\\ \\ -a,a<0.\end{array}$

以上的 n 是整数,$x^n=a$叫整数指数幂;如果 n 是分数,$x^n=a$则叫分数指数幂;

对于任意有理数r,s,有如下性质:

• $a^r{a}^s=a^{r+s}(a>0,r,s\in Q)$;
• $(a^r{)}^s=a^{rs}(a>0,r,s\in Q)$;
• $(ab{)}^r=a^r{b}^s(a>0,b>0,s\in Q)$.

有理数指数幂的法则同样适用于无理数指数幂.

函数 $y=a^x(a>0,且a\ne 1)$ 叫指数函数(exponential function),其中 x 是自变量,函数的定义域是 R.

3.2、对数函数

如果 $a^x=N(a>0且a\ne 1)$,那么数 x 叫以 a 为底 N 的对数(logarithm),记作:$x={\log }_{a}N$,其中 a 叫对数的底数,N 叫真数.

以 10 为底的对数叫常用对数(common logarithm),把 ${\log }_{10}N$ 写为 $\lg N$.
以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数(natural logarithm),把${\log }_{e}N$写为$\ln N$

负数和零没有对数(即 N=0 或 N<0 时找不到对应的 x 的值),因为当 a>0 时,对于任意 x,总有 $a^x>0$.

把函数$y={\log }_{a}x$ (a>0,且 a≠1)叫对数函数(logarithmic function),其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

3.2.1、对数的运算法则

a>0,且 a≠1,M>0,N>0,有如下法则:

• ${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$;
• ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$;
• ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M(n\in R)$;
• ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}(a>0,且a\ne 1;c>0,且c\ne 1;b>0)$;

3.3、幂函数

函数$y=x^a$ 叫幂函数(power function),其中 x 是自变量,a 是常数.

4、函数与方程

4.1、方程的根与函数的零点

对于函数$y=f(x)$,把能使$f(x)=0$的实数 x 叫做函数$y=f(x)$的零点(zero point),零点就是方程的实数根,也即函数的图像与 x 轴的交点的横坐标.

方程$f(x)=0$有实数根 ⇔ 函数$y=f(x)$的图像与 x 轴有交点 ⇔ 函数$y=f(x)$有零点.

如果函数$y=f(x)$在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有$f(a)\cdot f(b)<0$,那么,函数$y=f(x)$在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 $f(c)=0$,这个 c 也就是方程 $f(x)=0$的根.

4.2、用二分法求方程的近似解

对于在区间[a,b]上连续不断且$f(a)\cdot f(b)<0$的函数$y=f(x)$,通过不断地把函数$f(x)$的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(biscetion).

5、函数的应用

在本书的最后有一道实习作业题,说:

牛顿曾提出一个物体冷却模型.如果物体初始温度是${\theta }_1$,环境温度是${\theta }_0$,则经过时间 t 后物体的温度 θ 将满足 $\theta ={\theta }_0+({\theta }_1-{\theta }_0)\cdot e^{-kt}$,其中 k 为正的常数.

提出的问题是:

• ①一杯开水的温度降到50℃时大约需要多少时间?
• ②应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻?
• ③在寒冬季节,是冷水管容易结冰,还是热水管容易结冰?

在此,我尝试解答下这个问题.

问题①解答:

假设环境温度是20℃,把参数 $\theta =50,{\theta }_0=20,{\theta }_1=100$带入模型中,

即$$50=20+(100-20)\cdot e^{-kt}$$
可得$$e^{-kt}=\frac{50-20}{100-20}=\frac{3}{8}$$
此时$$t=-\frac{\ln \frac{3}{8}}{k}$$
只需要知道 k 的具体数值就可以算出结果了,经查资料得知 k 是与系统本身性质和形状有关,可以通过实验获取它具体的数值,例如100℃的一杯水在20℃的环境温度冷却5分钟后,水温是70℃,把这些参数带入模型中即可求出 k 值,多次实验求平均值即可.

问题②解答

假设冰箱中的冷冻肉是 -18℃,拿出冰箱自然升温1℃即可炒菜,则有:
$$t=-\frac{\ln \frac{\theta -{\theta }_0}{{\theta }_1-{\theta }_0}}{k}=-\frac{\ln \frac{1-20}{-18-20}}{k}=\frac{\ln 2}{k}$$

问题③解答

假设冷水管中的水温是 ${\theta }_a$,热水管中的水温是 ${\theta }_b$ ,可知 ${\theta }_b$>${\theta }_a$>0;冷水管结冰用时为$t_a$,热水管结冰用时为$t_b$,则根据$$t=-\frac{\ln \frac{\theta -{\theta }_0}{{\theta }_1-{\theta }_0}}{k}$$
有:
$$t_a-t_b=-\frac{\ln \frac{\theta -{\theta }_0}{{\theta }_a-{\theta }_0}}{k}-(-\frac{\ln \frac{\theta -{\theta }_0}{{\theta }_b-{\theta }_0}}{k})=\frac{\ln \frac{{\theta }_a-{\theta }_0}{{\theta }_b-{\theta }_0}}{k}$$

可知${\theta }_b-{\theta }_0>{\theta }_a-{\theta }_0>0$,可得$\ln \frac{{\theta }_a-{\theta }_0}{{\theta }_b-{\theta }_0}<0$,又因为 k>0,所以 $$t_a-t_b=\frac{\ln \frac{{\theta }_a-{\theta }_0}{{\theta }_b-{\theta }_0}}{k}<0$$,即$t_a<t_b$,因此热水管结冰用的时间更长,所以冷水管更容易结冰.

6、参考资料

普通高中课程标准实验教科书——数学1（必修）[ISBN 978-7-107-17705-7]