普通高中课程标准实验教科书(必修)数学2_学习笔记

1、空间几何体的结构

只考虑物体的形状和大小,不考虑其他因素,由这些物体抽象出来的空间图形叫空间几何体.

由若干个平面多变形围成的几何体叫多面体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面.相邻两个面的公共边叫多面体的棱.棱与棱的公共点叫多面体的顶点.

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的的封闭几何体叫旋转体.这条定直线叫旋转体的轴.

1.1、柱,锥,台,球

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫棱柱.棱柱中,这两个互相平行的面叫棱柱的底面,简称底.其余各面叫棱柱的侧面.相邻侧面的公共边叫棱柱的侧棱.侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…一般用底面各顶点的字母表示棱柱.

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥(pyramid).这个多边形面叫棱锥的底面或底.有公共顶点的各个三角形面叫棱锥的侧面.各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱.底面是三角形、四边形、五边形…的棱锥分别叫三棱锥、四棱锥、五棱锥…其中三棱锥又叫四面体.棱锥用顶点和底面各顶点的字母表示.

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分,这样的多面体叫棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫棱台的下底面和上底面.棱台也有侧面,侧棱,顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台…

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱(circular cylinder).旋转轴叫圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面.平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面.无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线.

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥(circular cone),圆锥也有轴,底面侧面和母线.

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台(frustum of a cone).棱台与圆台统称为台体.

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周所形成的的旋转体叫球体(lolid sphere),简称球.半圆的圆心叫球的球心,半圆的半径叫球的半径.半圆的直径叫球的直径.

简单组合体有两种,一种是由上述几个简单几何体(柱体,椎体,台体,球体)拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

1.2、空间几何体的三视图和直观图

三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形.

由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫投影.这里的光线叫投影线,把留下物体影子的屏幕叫投影面.

把光由一点向外散射形成的投影,叫中心投影.

由一束平行光线照射所形成的投影叫平行投影,投影线正对着投影面时,叫正投影,否则叫斜投影.

几何体的正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;
几何体的侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;
几何体的俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;

几何体的正视图,侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图和正视图的长度一样,侧视图与俯视图的宽度一样.

斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图:已知x 轴和 y 轴交叉垂直,做$x^{\prime }$轴和$y^{\prime }$轴,使$x^{\prime }$轴与 x 轴平行,$y^{\prime }$轴与$x^{\prime }$轴交叉,且夹角是$45°$,平行于x 轴和 y 轴的线段分别画成平行于$x^{\prime }$轴和$y^{\prime }$轴,并使平行于x 轴的线段长度不变,平行于y 轴的线段长度是原来的一半.

斜二测画法画水平放置的长方体的直观图:原理同画正六边形的直观图类似,$x^{\prime }$轴和$y^{\prime }$轴夹角是$45°$,$x^{\prime }$轴和$z^{\prime }$垂直,$x^{\prime }$轴和$z^{\prime }$轴上的线段长度不变,$y^{\prime }$轴上的线段长度变为一半.

1.3、空间几何体的表面积与体积

表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体所占空间的大小.

圆柱的表面积:$S=2\pi r^2+2\pi rl=2\pi r(r+l)$;

圆锥的表面积:$S=\pi r^2+\pi rl$=πr(r+l);

圆台的表面积:$S=\pi (r^{\prime 2}+r^2+r^{\prime }l+rl)$;

柱体,椎体,台体的体积公式:

$V_{柱体}=Sh$,其中 S 是底面积,h 是柱体高;

$V_{锥体}=\frac{1}{3}Sh$,其中 S 是底面积,h 是锥体高;

$V_{台体}=\frac{1}{3}(S^{\prime }+\sqrt[]{S^{\prime }S}+S)h$,其中 $S^{\prime }$,S 分别是上下底面面积,h 为台体高;

球的表面积:$S=4\pi R^2$