动态规划之独立任务最优调度

问题概述

用 2 台处理机 A 和 B 处理 n 个作业。设第 i 个作业交给机器 A 处理时需要时间 i a ，若 由机器 B 来处理，则需要时间 i b 。由于各作业的特点和机器的性能关系，很可能对于某些 i， 有 i i a ³ b ，而对于某些 j,j≠i，有a j < bj 。既不能将一个作业分开由 2 台机器处理，也 没有一台机器能同时处理 2 个作业。设计一个动态规划算法，使得这 2 台机器处理完这 n 个作业的时间最短(从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总时间)。

编程任务

对于给定的 2 台处理机 A 和 B 处理 n 个作业，找出一个最优调度方案，使 2 台机器处理 完这 n 个作业的时间最短。

数据输入

由文件 input.txt 提供输入数据。文件的第 1 行是 1 个正整数 n, 表示要处理 n 个作业。 接下来的 2 行中，每行有 n 个正整数，分别表示处理机 A 和 B 处理第 i 个作业需要的处理时 间。

输入

6

2 5 7 10 5 2

3 8 4 11 3 4

输出

15

 

分析：

(a1,a2,a3,a4,a5,a6)＝(2,5,7,10,5,2)；

(b1,b2,b3,b4,b5,b6)＝(3,8,4,11,3,4);

用以下这张图来进行说明

（图片）

这里用p[i][k]来表示前k个任务a机器在i时间且b机器在p[i][k]时间内完成（即b机器完成k个任务的时间）

最优子结构：

第k个任务由哪个机器来完成所需时间最短

（1)使用a机器完成的时间最短：因为使用的是a机器，所以b机器的时间 是上一个任务的时间

 p[i][k]=p[i-a[k]][k-1]

（2）使用b机器 那么b机器就在上一个任务完成的基础上累加

 p[i][k]=p[i][k-1]+b[k]

#include<iostream>
using namespace std;
#define Max 1000
//p(i,k)表示前k个任务可由a在i时间内且b在p(i,k)时间内完成
int Min(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}
int MAX(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int a[n+1]={};
    int b[n+1]={};
    int p[Max][n+1]={0};//p[i][j]用来表示在i这个时间下b机器完成j个任务的时间 
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
      
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>b[i];
    }
    for(int k=1;k<=n;k++){
         sum+=a[k];
         for(int i=0;i<=sum;i++){
             p[i][k]=p[i][k-1]+b[k];//初始为b完成第k个任务 
             if(i>=a[k])//当前时间可以满足a机器也可以完成的情况下 需要比较a b机器谁完成第k个任务时间更短（如果i比a[k]这个完成的任务时间还小 说明还没有到a机器完成这个任务的时间点 因为计算的i是根据a机器完成的时间和变化的 没到a机器需要完成的时间 相当于初始化b机器的时间以便后面作比较
             {
                p[i][k]=Min(p[i][k],p[i-a[k]][k-1]);//第二个式子表示当前选用a的话更小 所以因p存储的是b机器完成的时间 所以p机器完成第i个任务的时间是上一个任务的时间
             }
         }
    }
    int minT=100000;
    for(int i=0;i<=sum;i++){
        int t=MAX(p[i][n],i);//选择最长的
        if(minT>t)//在多个方案里面选择最小的
        minT=t;
    }
    cout<<minT<<endl;
}